2023年全国甲文

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2023年高考数学甲卷-文1（5分）设全集

$U=\{1$ ，2，3，4，

$5\}$ ，集合

$M=\{1$ ，

$4\}$ ，

$N=\{2$ ，

$5\}$ ，则

$N\bigcup \complement _{U}M=($ 　　

$)$
A．

$\{2$ ，3，

$5\}$ B．

$\{1$ ，3，

$4\}$ C．

$\{1$ ，2，4，

$5\}$ D．

$\{2$ ，3，4，

$5\}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文2（5分）

$\dfrac{5({1+{i^3}})}{({2+i})({2-i})}=($ 　　

$)$
A．

$-1$ B．1 C．

$1-i$ D．

$1+i$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文3（5分）已知向量

$\overrightarrow{a}=(3,1)$ ，

$\overrightarrow{b}=(2,2)$ ，则

$\cos \langle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ ，

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\rangle =($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{1}{17}$ B．

$\dfrac{\sqrt{17}}{17}$ C．

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ D．

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文4（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为

$($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{1}{6}$ B．

$\dfrac{1}{3}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．

$\dfrac{2}{3}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文5（5分）记

$S_{n}$ 为等差数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和．若

$a_{2}+a_{6}=10$ ，

$a_{4}a_{8}=45$ ，则

$S_{5}=($ 　　

$)$
A．25 B．22 C．20 D．15【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文6（5分）执行下边的程序框图，则输出的

$B=($ 　　

$)$

A．21 B．34 C．55 D．89【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文7（5分）设

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 为椭圆

$C:\dfrac{x^2}{5}+y^{2}=1$ 的两个焦点，点

$P$ 在

$C$ 上，若

$\overrightarrow{P{F_1}}\cdot \overrightarrow{P{F_2}}=0$ ，则

$\vert PF_{1}\vert \cdot \vert PF_{2}\vert =($ 　　

$)$
A．1 B．2 C．4 D．5【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文8（5分）曲线

$y=\dfrac{e^x}{x+1}$ 在点

$(1,\dfrac{e}{2})$ 处的切线方程为

$($ 　　

$)$
A．

$y=\dfrac{e}{4}x$ B．

$y=\dfrac{e}{2}x$ C．

$y=\dfrac{e}{4}x+\dfrac{e}{4}$ D．

$y=\dfrac{e}{2}x+\dfrac{3e}{4}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文9（5分）已知双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的离心率为

$\sqrt{5}$ ，

$C$ 的一条渐近线与圆

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，则

$\vert AB\vert =($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ B．

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ C．

$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ D．

$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文10（5分）在三棱锥

$P-ABC$ 中，

$\Delta ABC$ 是边长为2的等边三角形，

$PA=PB=2$ ，

$PC=\sqrt{6}$ ，则该棱锥的体积为

$($ 　　

$)$
A．1 B．

$\sqrt{3}$ C．2 D．3【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文11（5分）已知函数

$f(x)={e^{-{{(x-1)}^2}}}$ ．记

$a=f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ ，

$b=f(\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ ，

$c=f(\dfrac{\sqrt{6}}{2})$ ，则

$($ 　　

$)$
A．

$b > c > a$ B．

$b > a > c$ C．

$c > b > a$ D．

$c > a > b$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文12（5分）函数

$y=f(x)$ 的图象由

$y=\cos (2x+\dfrac{\pi }{6})$ 的图象向左平移

$\dfrac{\pi }{6}$ 个单位长度得到，则

$y=f(x)$ 的图象与直线

$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$ 的交点个数为

$($ 　　

$)$
A．1 B．2 C．3 D．4【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文13（5分）记

$S_{n}$ 为等比数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和．若

$8S_{6}=7S_{3}$ ，则

$\{a_{n}\}$ 的公比为____．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文14（5分）若

$f(x)=(x-1)^{2}+ax+\sin (x+\dfrac{\pi }{2})$ 为偶函数，则

$a=$ ____．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文15（5分）若

$x$ ，

$y$ 满足约束条件

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{3x-2y\leqslant 3,}\\ {-2x+3y\leqslant 3}\\ {x+y\geqslant 1,}\end{array}\right.}\right.$ ，则

$z=3x+2y$ 的最大值为 ____．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文16（5分）在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$AB=4$ ，

$O$ 为

$AC_{1}$ 的中点，若该正方体的棱与球

$O$ 的球面有公共点，则球

$O$ 的半径的取值范围是____．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文17（12分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，已知

$\dfrac{{b^2}+{c^2}-{a^2}}{\cos A}=2$ ．
（1）求

$bc$ ；
（2）若

$\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=1$ ，求

$\Delta ABC$ 面积．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文18（12分）如图，在三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，

$A_{1}C\bot$ 平面

$ABC$ ，

$\angle ACB=90^\circ$ ．
（1）证明：平面

$ACC_{1}A_{1}\bot$ 平面

$BB_{1}C_{1}C$ ；
（2）设

$AB=A_{1}B$ ，

$AA_{1}=2$ ，求四棱锥

$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$ 的高．

【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文19（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：

$g)$ ．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数

$m$ ，再分别统计两样本中小于

$m$ 与不小于

$m$ 的数据的个数，完成如下列联表；

	$< m$	$\geqslant m$
对照组
实验组

（ⅱ）根据

$(i)$ 中的列联表，能否有

$95%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：

$K^{2}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^2}}{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}$ ，

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文20（12分）已知函数

$f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{co{s^2}x}$ ，

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ．
（1）当

$a=1$ 时，讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）若

$f(x)+\sin x < 0$ ，求

$a$ 的取值范围．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文21（12分）已知直线

$x-2y+1=0$ 与抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$\vert AB\vert =4\sqrt{15}$ ．
（1）求

$p$ ；
（2）设

$F$ 为

$C$ 的焦点，

$M$ ，

$N$ 为

$C$ 上两点，且

$\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$ ，求

$\Delta MFN$ 面积的最小值．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文22[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知点

$P(2,1)$ ，直线

$l:\left\{\begin{array}{l}{x=2+t\cos \alpha ,}\\ {y=1+t\sin \alpha }\end{array}\right.(t$ 为参数），

$\alpha$ 为

$l$ 的倾斜角，

$l$ 与

$x$ 轴正半轴、

$y$ 轴正半轴分别交于

$A$ ，

$B$ ，且

$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$ ．
（1）求

$\alpha$ ；
（2）以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求

$l$ 的极坐标方程．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-文23[选修4-5：不等式选讲]
23．设

$a > 0$ ，函数

$f(x)=2\vert x-a\vert -a$ ．
（1）求不等式

$f(x) < x$ 的解集；
（2）若曲线

$y=f(x)$ 与

$x$ 轴所围成的图形的面积为2，求

$a$ ．【答案详解】

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