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2023年高考数学甲卷-文11

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（5分）已知函数

$f(x)={e^{-{{(x-1)}^2}}}$ ．记

$a=f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ ，

$b=f(\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ ，

$c=f(\dfrac{\sqrt{6}}{2})$ ，则

$($ 　　

$)$
A．

$b > c > a$ B．

$b > a > c$ C．

$c > b > a$ D．

$c > a > b$
答案：

$A$
分析：令

$g(x)=-(x-1)^{2}$ ，先利用作差比较法及一元二次函数的性质，可得

$g(\dfrac{\sqrt{2}}{2}) < g(\dfrac{\sqrt{6}}{2}) < g(\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ ，再根据

$y=e^{x}$ 的单调性，即可求解．
解：令

$g(x)=-(x-1)^{2}$ ，则

$g(x)$ 的开口向下，对称轴为

$x=1$ ，

$\because$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1-(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2})=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-\dfrac{4}{2}$ ，
而

$(\sqrt{6}+\sqrt{3})^{2}-{4}^{2}=9+6\sqrt{2}-16=6\sqrt{2}-7 > 0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1-(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2})=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}-4}{2} > 0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1 > 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\therefore$ 由一元二次函数的性质可知

$g(\dfrac{\sqrt{6}}{2}) < g(\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ ，

$\because$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1-(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-4}{2}$ ，
而

$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}-{4}^{2}=4\sqrt{3}-8 < 0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1 < 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$\therefore$

$g(\dfrac{\sqrt{6}}{2}) > g(\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ ，
综合可得

$g(\dfrac{\sqrt{2}}{2}) < g(\dfrac{\sqrt{6}}{2}) < g(\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ ，又

$y=e^{x}$ 为增函数，

$\therefore a < c < b$ ，即

$b > c > a$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题考查利用函数的单调性比较大小，作差比较法的应用，化归转化思想，属中档题．

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