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2023年高考数学甲卷-文6<-->2023年高考数学甲卷-文8
（5分）设$F_{1}$，$F_{2}$为椭圆$C:\dfrac{x^2}{5}+y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在$C$上，若$\overrightarrow{P{F_1}}\cdot \overrightarrow{P{F_2}}=0$，则$\vert PF_{1}\vert \cdot \vert PF_{2}\vert =($ $)$
A．1 B．2 C．4 D．5
答案：$B$
分析：根据题意，分析可得$\angle F_{1}PF_{2}=\dfrac{\pi }{2}$，由椭圆的标准方程和定义可得$\vert PF_{1}\vert +\vert PF_{2}\vert =2a$，$\vert PF_{1}\vert ^{2}+\vert PF_{2}\vert ^{2}=(2c)^{2}$，将两式联立可得$\vert PF_{1}\vert \cdot \vert PF_{2}\vert$的值即可．
解：根据题意，点$P$在椭圆上，满足$\overrightarrow{P{F_1}}\cdot \overrightarrow{P{F_2}}=0$，可得$\angle F_{1}PF_{2}=\dfrac{\pi }{2}$，
又由椭圆$C:\dfrac{x^2}{5}+y^{2}=1$，其中$c^{2}=5-1=4$，
则有$\vert PF_{1}\vert +\vert PF_{2}\vert =2a=2\sqrt{5}$，$\vert PF_{1}\vert ^{2}+\vert PF_{2}\vert ^{2}=(2c)^{2}=16$，
可得$\vert PF_{1}\vert \cdot \vert PF_{2}\vert =2$，
故选：$B$．
点评：本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
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