2023年高考数学甲卷-文7

（5分）设

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 为椭圆

$C:\dfrac{x^2}{5}+y^{2}=1$ 的两个焦点，点

$P$ 在

$C$ 上，若

$\overrightarrow{P{F_1}}\cdot \overrightarrow{P{F_2}}=0$ ，则

$\vert PF_{1}\vert \cdot \vert PF_{2}\vert =($ 　　

$)$
A．1 B．2 C．4 D．5
答案：

$B$
分析：根据题意，分析可得

$\angle F_{1}PF_{2}=\dfrac{\pi }{2}$ ，由椭圆的标准方程和定义可得

$\vert PF_{1}\vert +\vert PF_{2}\vert =2a$ ，

$\vert PF_{1}\vert ^{2}+\vert PF_{2}\vert ^{2}=(2c)^{2}$ ，将两式联立可得

$\vert PF_{1}\vert \cdot \vert PF_{2}\vert$ 的值即可．
解：根据题意，点

$P$ 在椭圆上，满足

$\overrightarrow{P{F_1}}\cdot \overrightarrow{P{F_2}}=0$ ，可得

$\angle F_{1}PF_{2}=\dfrac{\pi }{2}$ ，
又由椭圆

$C:\dfrac{x^2}{5}+y^{2}=1$ ，其中

$c^{2}=5-1=4$ ，
则有

$\vert PF_{1}\vert +\vert PF_{2}\vert =2a=2\sqrt{5}$ ，

$\vert PF_{1}\vert ^{2}+\vert PF_{2}\vert ^{2}=(2c)^{2}=16$ ，
可得

$\vert PF_{1}\vert \cdot \vert PF_{2}\vert =2$ ，
故选：

$B$ ．
点评：本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．

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