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2023年高考数学甲卷-文16

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（5分）在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$AB=4$ ，

$O$ 为

$AC_{1}$ 的中点，若该正方体的棱与球

$O$ 的球面有公共点，则球

$O$ 的半径的取值范围是____．
答案：

$[2\sqrt{2}$ ，

$2\sqrt{3}]$ ．
分析：当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小．
解：设球的半径为

$R$ ，
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，
若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径

$2R\prime$ 为体对角线长

$AC_{1}=\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{3}$ ，
即

$2R\prime =4\sqrt{3}$ ，

$R\prime =2\sqrt{3}$ ，故

$R_{max}=2\sqrt{3}$ ，

分别取侧枝

$AA_{1}$ ，

$BB_{1}$ ，

$CC_{1}$ ，

$DD_{1}$ 的中点

$M$ ，

$H$ ，

$G$ ，

$N$ ，
则四边形

$MNGH$ 是边长为4的正方形，且

$O$ 为正方形

$MNGH$ 的对角线交点，
连接

$MG$ ，则

$MG=4\sqrt{2}$ ，
当球的一个大圆恰好是四边形

$MNGH$ 的外接圆，球的半径最小，
即

$R$ 的最小值为

$2\sqrt{2}$ ，
综上，球

$O$ 的半径的取值范围是

$[2\sqrt{2}$ ，

$2\sqrt{3}]$ ．
故答案为：

$[2\sqrt{2}$ ，

$2\sqrt{3}]$ ．
点评：本题考查正方体的结构特征、四边形的外接圆、球的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

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