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2023年高考数学甲卷-文2<-->2023年高考数学甲卷-文4
（5分）已知向量$\overrightarrow{a}=(3,1)$，$\overrightarrow{b}=(2,2)$，则$\cos \langle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\rangle =($ $)$
A．$\dfrac{1}{17}$ B．$\dfrac{\sqrt{17}}{17}$ C．$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ D．$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案：$B$
分析：根据题意，求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，进而求出$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert$、$\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert$和$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．
解：根据题意，向量$\overrightarrow{a}=(3,1)$，$\overrightarrow{b}=(2,2)$，
则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(5,3)$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(1,-1)$，
则有$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert =\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$，$\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=2$，
故$\cos \langle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\rangle =\dfrac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}{\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert \vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert }=\dfrac{2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{2}}\dfrac{\sqrt{17}}{17}$．
故选：$B$．
点评：本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题．
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