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2023年高考数学甲卷-文20

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（12分）已知函数

$f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{co{s^2}x}$ ，

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ．
（1）当

$a=1$ 时，讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）若

$f(x)+\sin x < 0$ ，求

$a$ 的取值范围．
答案：（1）

$\therefore f(x)$ 在

$(0,\dfrac{\pi }{2})$ 上单调递减；（2）

$(-\infty$ ，

$0]$ ．
分析：（1）先求导函数，再判断导函数的符号，即可求解；
（2）设

$g(x)=f(x)+\sin x=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}+\sin x$ ，

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，利用其二阶导函数的符号可得一阶导函数在

$(0,\dfrac{\pi }{2})$ 上单调递减，再根据

$g(x)=f(x)+\sin x < 0$ 及

$g(0)$ ，可得

$g\prime (0)=a-1+1\leqslant 0$ ，再分类讨论验证，即可求解．
解：（1）当

$a=1$ 时，

$f(x)=x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}$ ，

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$\therefore f\prime (x)=1-\dfrac{\cos xco{s}^{2}x-2\cos x(-\sin x)\sin x}{co{s}^{4}x}$

$=1-\dfrac{co{s}^{2}x+2si{n}^{2}x}{co{s}^{3}x}=\dfrac{co{s}^{3}x+co{s}^{2}x-2}{co{s}^{3}x}$ ，
令

$t=\cos x$ ，

$\because$

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$\therefore t\in (0,1)$ ，

$\therefore \cos ^{3}x+\cos ^{2}x-2=t^{3}+t^{2}-2$

$=(t-1)(t^{2}+2t+2)=(t-1)[(t+1)^{2}+1] < 0$ ，
又

$\cos ^{3}x=t^{3} > 0$ ，

$\therefore f\prime (x)=\dfrac{co{s}^{3}x+co{s}^{2}x-2}{co{s}^{3}x}=\dfrac{(t-1)({t}^{2}+2t+2)}{{t}^{3}} < 0$ ，

$\therefore f(x)$ 在

$(0,\dfrac{\pi }{2})$ 上单调递减；
（2）设

$g(x)=f(x)+\sin x=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}+\sin x$ ，

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，
则

$g\prime (x)=a-\dfrac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{3}x}+\cos x$ ，

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$g\prime \prime (x)=-\dfrac{2\sin xco{s}^{4}x+3(1+si{n}^{2}x)co{s}^{2}x\sin x}{co{s}^{6}x}-\sin x < 0$ ，

$\therefore g\prime (x)$ 在

$(0,\dfrac{\pi }{2})$ 上单调递减，
若

$g(x)=f(x)+\sin x < 0$ ，又

$g(0)=0$ ，则

$g\prime (0)=a-1+1\leqslant 0$ ，

$\therefore a\leqslant 0$ ，
当

$a=0$ 时，

$\because$

$\sin x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}=\sin x(1-\dfrac{1}{co{s}^{2}x})$ ，
又

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$\therefore 0 < \sin x < 1$ ，

$0 < \cos x < 1$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{co{s}^{2}x} > 1$ ，

$\therefore$

$f(x)+\sin x=\sin x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x} < 0$ ，满足题意；
当

$a < 0$ 时，

$\because x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$\therefore ax < 0$ ，

$\therefore f(x)+\sin x=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}+\sin x < \sin x < \sin x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x} < 0$ ，满足题意；
综合可得：若

$f(x)+\sin x < 0$ ，则

$a\leqslant 0$ ，
所以

$a$ 的取值范围为

$(-\infty$ ，

$0]$ ．
点评：本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属难题．

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