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2023年高考数学甲卷-文19<-->2023年高考数学甲卷-文21
（12分）已知函数$f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{co{s^2}x}$，$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$．
（1）当$a=1$时，讨论$f(x)$的单调性；
（2）若$f(x)+\sin x < 0$，求$a$的取值范围．
答案：（1）$\therefore f(x)$在$(0,\dfrac{\pi }{2})$上单调递减；（2）$(-\infty$，$0]$．
分析：（1）先求导函数，再判断导函数的符号，即可求解；
（2）设$g(x)=f(x)+\sin x=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}+\sin x$，$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，利用其二阶导函数的符号可得一阶导函数在$(0,\dfrac{\pi }{2})$上单调递减，再根据$g(x)=f(x)+\sin x < 0$及$g(0)$，可得$g\prime (0)=a-1+1\leqslant 0$，再分类讨论验证，即可求解．
解：（1）当$a=1$时，$f(x)=x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}$，$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，
$\therefore f\prime (x)=1-\dfrac{\cos xco{s}^{2}x-2\cos x(-\sin x)\sin x}{co{s}^{4}x}$
$=1-\dfrac{co{s}^{2}x+2si{n}^{2}x}{co{s}^{3}x}=\dfrac{co{s}^{3}x+co{s}^{2}x-2}{co{s}^{3}x}$，
令$t=\cos x$，$\because$$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，$\therefore t\in (0,1)$，
$\therefore \cos ^{3}x+\cos ^{2}x-2=t^{3}+t^{2}-2$
$=(t-1)(t^{2}+2t+2)=(t-1)[(t+1)^{2}+1] < 0$，
又$\cos ^{3}x=t^{3} > 0$，
$\therefore f\prime (x)=\dfrac{co{s}^{3}x+co{s}^{2}x-2}{co{s}^{3}x}=\dfrac{(t-1)({t}^{2}+2t+2)}{{t}^{3}} < 0$，
$\therefore f(x)$在$(0,\dfrac{\pi }{2})$上单调递减；
（2）设$g(x)=f(x)+\sin x=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}+\sin x$，$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，
则$g\prime (x)=a-\dfrac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{3}x}+\cos x$，$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，
$g\prime \prime (x)=-\dfrac{2\sin xco{s}^{4}x+3(1+si{n}^{2}x)co{s}^{2}x\sin x}{co{s}^{6}x}-\sin x < 0$，
$\therefore g\prime (x)$在$(0,\dfrac{\pi }{2})$上单调递减，
若$g(x)=f(x)+\sin x < 0$，又$g(0)=0$，则$g\prime (0)=a-1+1\leqslant 0$，$\therefore a\leqslant 0$，
当$a=0$时，$\because$$\sin x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}=\sin x(1-\dfrac{1}{co{s}^{2}x})$，
又$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，$\therefore 0 < \sin x < 1$，$0 < \cos x < 1$，$\therefore$$\dfrac{1}{co{s}^{2}x} > 1$，
$\therefore$$f(x)+\sin x=\sin x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x} < 0$，满足题意；
当$a < 0$时，$\because x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，$\therefore ax < 0$，
$\therefore f(x)+\sin x=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x}+\sin x < \sin x < \sin x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{2}x} < 0$，满足题意；
综合可得：若$f(x)+\sin x < 0$，则$a\leqslant 0$，
所以$a$的取值范围为$(-\infty$，$0]$．
点评：本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属难题．
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