2023年高考数学甲卷-文17

（12分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，已知

$\dfrac{{b^2}+{c^2}-{a^2}}{\cos A}=2$ ．
（1）求

$bc$ ；
（2）若

$\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=1$ ，求

$\Delta ABC$ 面积．
答案：（1）

$bc=1$ ；
（2）

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ．
分析：（1）由已知结合余弦定理进行化简即可求解

$bc$ ；
（2）先利用正弦定理及和差角公式进行化简可求

$\cos A$ ，进而可求

$A$ ，然后结合三角形面积公式可求．
解：（1）因为

$\dfrac{{b^2}+{c^2}-{a^2}}{\cos A}=\dfrac{2bc\cos A}{\cos A}=2bc=2$ ，
所以

$bc=1$ ；
（2）

$\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{\sin A\cos B-\sin B\cos A}{\sin A\cos B+\sin B\cos A}-\dfrac{\sin B}{\sin C}=1$ ，
所以

$\dfrac{\sin (A-B)}{\sin (A+B)}-\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{\sin (A-B)-\sin B}{\sin C}=1$ ，
所以

$\sin (A-B)-\sin B=\sin C=\sin (A+B)$ ，
所以

$\sin A\cos B-\sin B\cos A-\sin B=\sin A\cos B+\sin B\cos A$ ，
即

$\cos A=-\dfrac{1}{2}$ ，
由

$A$ 为三角形内角得

$A=\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$\Delta ABC$ 面积

$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}\times 1\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ．
点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．

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