2023年高考数学甲卷-文9

（5分）已知双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的离心率为

$\sqrt{5}$ ，

$C$ 的一条渐近线与圆

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，则

$\vert AB\vert =($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ B．

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ C．

$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ D．

$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
答案：

$D$
分析：利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解

$\vert AB\vert$ 即可．
解：双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的离心率为

$\sqrt{5}$ ，
可得

$c=\sqrt{5}a$ ，所以

$b=2a$ ，
所以双曲线的渐近线方程为：

$y=\pm 2x$ ，
一条渐近线与圆

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，圆的圆心

$(2,3)$ ，半径为1，
圆的圆心到直线

$y=2x$ 的距离为：

$\dfrac{\vert 4-3\vert }{\sqrt{1+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ ，
所以

$\vert AB\vert =2\sqrt{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．

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