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2023年高考数学甲卷-文18<-->2023年高考数学甲卷-文20
（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：$g)$．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数$m$，再分别统计两样本中小于$m$与不小于$m$的数据的个数，完成如下列联表；
| |
$ < m$ |
$\geqslant m$ |
| 对照组 |
|
|
| 实验组 |
|
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（ⅱ）根据$(i)$中的列联表，能否有$95%$的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：$K^{2}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^2}}{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}$，
| $P(K^{2}\geqslant k)$ |
0.100 |
0.050 |
0.010 |
| $k$ |
2.706 |
3.841 |
6.635 |
答案：（1）19.8．
（2）$(i)$中位数是23.4；列联表是
| |
$ < m$ |
$\geqslant m$ |
合计 |
| 对照组 |
6 |
14 |
20 |
| 实验组 |
14 |
6 |
20 |
| 合计 |
20 |
20 |
40 |
$(ii)$有$95%$的把握认为有差异．
分析：（1）根据平均数的定义计算即可．
（2）$(i)$把两组数据合在一起，按从小到大排列后求中位数$m$，填写列联表即可；
$(ii)$根据列联表中数据计算$K^{2}$，对照临界值得出结论．
解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为
$\overline{x}=\dfrac{1}{20}\times (7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=19.8$．
（2）$(i)$由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，
因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，$\ldots$，
所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，
所以这组数据的中位数是$m=\dfrac{1}{2}\times (23.2+23.6)=23.4$；
填写列联表如下：
| |
$ < m$ |
$\geqslant m$ |
合计 |
| 对照组 |
6 |
14 |
20 |
| 实验组 |
14 |
6 |
20 |
| 合计 |
20 |
20 |
40 |
$(ii)$根据列联表中数据，计算$K^{2}=\dfrac{40{\times (6\times 6-14\times 14)}^{2}}{20\times 20\times 20\times 20}=6.4 > 3.841$，
所以有$95%$的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
点评：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了平均数与中位数的计算问题，是基础题．
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