2023年高考数学甲卷-文15

（5分）若

$x$ ，

$y$ 满足约束条件

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{3x-2y\leqslant 3,}\\ {-2x+3y\leqslant 3}\\ {x+y\geqslant 1,}\end{array}\right.}\right.$ ，则

$z=3x+2y$ 的最大值为 ____．
答案：15．
分析：作出不等式组对应的平面区域，结合

$z$ 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
解：作出不等式组

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{3x-2y\leqslant 3,}\\ {-2x+3y\leqslant 3}\\ {x+y\geqslant 1,}\end{array}\right.}\right.$ 表示的平面区域，如图所示，

由

$z=3x+2y$ 得

$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{z}{2}$ ，
则

$\dfrac{z}{2}$ 表示直线在

$y$ 轴截距，截距越大，

$z$ 越大，
结合图形可知，当直线

$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{z}{2}$ 经过点

$A$ 时，

$z$ 最大，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=3}\\ {-2x+3y=3}\end{array}\right.$ 可得

$A(3,3)$ ，此时

$z$ 取得最大值15．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用

$z$ 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．

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