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2023年高考数学甲卷-文17<-->2023年高考数学甲卷-文19
（12分）如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$A_{1}C\bot$平面$ABC$，$\angle ACB=90^\circ$．
（1）证明：平面$ACC_{1}A_{1}\bot$平面$BB_{1}C_{1}C$；
（2）设$AB=A_{1}B$，$AA_{1}=2$，求四棱锥$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$的高．
答案：（1）证明见解答；
（2）四棱锥$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$的高为1．
分析：（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面$ACC_{1}A_{1}\bot$平面$BB_{1}C_{1}C$；
（2）利用已知可得$A_{1}C=AC$，进而可得$A_{1}C=AC=\sqrt{2}$，过$A_{1}$作$A_{1}O\bot C_{1}C$于$O$，可得$A_{1}O$为四棱锥$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$的高，求解即可．
解：（1）$\because A_{1}C\bot$底面$ABC$，$BC\subset$面$ABC$，
$\therefore A_{1}C\bot BC$，又$BC\bot AC$，$A_{1}C$，$AC\subset$平面$ACC_{1}A_{1}$，$A_{1}C\bigcap AC=C$，
$\therefore BC\bot$平面$ACC_{1}$，又$BC\subset$平面$BCC_{1}B_{1}$，
$\therefore$平面$ACC_{1}A_{1}\bot$平面$BCC_{1}B_{1}$；
（2）$\because BC\bot$平面$ACC_{1}$，$AC$，$A_{1}C\subset$平面$ACC_{1}$，
$\therefore BC\bot AC$，$BC\bot A_{1}C$，
$\because AB=A_{1}B$，$BC=BC$，
$\therefore \rm{Rt}\Delta ABC\cong Rt$△$A_{1}BC$，
$\therefore A_{1}C=AC$，
$\because A_{1}C\bot$底面$ABC$，$AC\subset$面$ABC$，
$\therefore A_{1}C\bot AC$，$\therefore A_{1}C^{2}+AC^{2}=A_{1}A^{2}$，
$\because AA_{1}=2$，$\therefore A_{1}C=AC=\sqrt{2}$，
$\therefore A_{1}C_{1}=\sqrt{2}$，
过$A_{1}$作$A_{1}O\bot C_{1}C$于$O$，$\because A_{1}C=A_{1}C_{1}$，
$\therefore O$为$CC_{1}$的中点，$\therefore A_{1}O=\dfrac{1}{2}C_{1}C=\dfrac{1}{2}A_{1}A=1$，
由（1）可知$A_{1}O\bot$平面$BCC_{1}B_{1}$，
$\therefore$四棱锥$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$的高为1．
点评：本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的高的求法，属中档题．
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