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2023年高考数学甲卷-文18

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（12分）如图，在三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，

$A_{1}C\bot$ 平面

$ABC$ ，

$\angle ACB=90^\circ$ ．
（1）证明：平面

$ACC_{1}A_{1}\bot$ 平面

$BB_{1}C_{1}C$ ；
（2）设

$AB=A_{1}B$ ，

$AA_{1}=2$ ，求四棱锥

$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$ 的高．

答案：（1）证明见解答；
（2）四棱锥

$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$ 的高为1．
分析：（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面

$ACC_{1}A_{1}\bot$ 平面

$BB_{1}C_{1}C$ ；
（2）利用已知可得

$A_{1}C=AC$ ，进而可得

$A_{1}C=AC=\sqrt{2}$ ，过

$A_{1}$ 作

$A_{1}O\bot C_{1}C$ 于

$O$ ，可得

$A_{1}O$ 为四棱锥

$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$ 的高，求解即可．
解：（1）

$\because A_{1}C\bot$ 底面

$ABC$ ，

$BC\subset$ 面

$ABC$ ，

$\therefore A_{1}C\bot BC$ ，又

$BC\bot AC$ ，

$A_{1}C$ ，

$AC\subset$ 平面

$ACC_{1}A_{1}$ ，

$A_{1}C\bigcap AC=C$ ，

$\therefore BC\bot$ 平面

$ACC_{1}$ ，又

$BC\subset$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\therefore$ 平面

$ACC_{1}A_{1}\bot$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ；
（2）

$\because BC\bot$ 平面

$ACC_{1}$ ，

$AC$ ，

$A_{1}C\subset$ 平面

$ACC_{1}$ ，

$\therefore BC\bot AC$ ，

$BC\bot A_{1}C$ ，

$\because AB=A_{1}B$ ，

$BC=BC$ ，

$\therefore \rm{Rt}\Delta ABC\cong Rt$ △

$A_{1}BC$ ，

$\therefore A_{1}C=AC$ ，

$\because A_{1}C\bot$ 底面

$ABC$ ，

$AC\subset$ 面

$ABC$ ，

$\therefore A_{1}C\bot AC$ ，

$\therefore A_{1}C^{2}+AC^{2}=A_{1}A^{2}$ ，

$\because AA_{1}=2$ ，

$\therefore A_{1}C=AC=\sqrt{2}$ ，

$\therefore A_{1}C_{1}=\sqrt{2}$ ，
过

$A_{1}$ 作

$A_{1}O\bot C_{1}C$ 于

$O$ ，

$\because A_{1}C=A_{1}C_{1}$ ，

$\therefore O$ 为

$CC_{1}$ 的中点，

$\therefore A_{1}O=\dfrac{1}{2}C_{1}C=\dfrac{1}{2}A_{1}A=1$ ，
由（1）可知

$A_{1}O\bot$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\therefore$ 四棱锥

$A_{1}-BB_{1}C_{1}C$ 的高为1．
点评：本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的高的求法，属中档题．

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