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2023年高考数学甲卷-文21

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（12分）已知直线

$x-2y+1=0$ 与抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$\vert AB\vert =4\sqrt{15}$ ．
（1）求

$p$ ；
（2）设

$F$ 为

$C$ 的焦点，

$M$ ，

$N$ 为

$C$ 上两点，且

$\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$ ，求

$\Delta MFN$ 面积的最小值．
答案：（1）

$p=2$ ；
（2）

$12-8\sqrt{2}$ ．
分析：（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出

$P$ ；
（2）设直线

$MN:x=my+n$ ，

$M(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$N(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，利用

$\overrightarrow{MF}\cdot \overrightarrow{NF}=0$ ，找到

$m$ ，

$n$ 的关系，以及

$\Delta MNF$ 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
解：设

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，联立

$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1=0}\\ {{y}^{2}=2px(p > 0)}\end{array}\right.$ ，
消去

$x$ 得：

$y^{2}-4py+2p=0$ ，

$\therefore y_{1}+y_{2}=4p$ ，

$y_{1}y_{2}=2p$ ，△

$=16p^{2}-8p > 0$ ，

$\therefore p(2p-1) > 0$ ，

$\therefore p > \dfrac{1}{2}$ ，

$\vert AB\vert =\sqrt{1+4}\vert y_{1}-y_{2}\vert =\sqrt{5}\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=4\sqrt{15}$ ，

$\therefore 16p^{2}-8p=48$ ，

$\therefore 2p^{2}-p-6=0$ ，

$\therefore (2p+3)(p-2)=0$ ，

$\therefore p=2$ ，
（2）由（1）知

$y^{2}=4x$ ，所以

$F(1,0)$ ，显然直线

$MN$ 的斜率不可能为零，
设直线

$MN:x=my+n$ ，

$M(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$N(x_{2}$ ，

$y_{2})$
由

$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\ {x=my+n}\end{array}\right.$ ，可得

$y^{2}-4m-4n=0$ ，所以

$y_{1}+y_{2}=4m$ ，

$y_{1}y_{2}=-4n$ ，
△

$=16m^{2}+16n > 0\rightarrow m^{2}+n > 0$ ，
因为

$\overrightarrow{MF}\cdot \overrightarrow{NF}=0$ ，所以

$(x_{1}-1)(x_{2}-1)+y_{1}y_{2}=0$ ，
即

$(my_{1}+n-1)(my_{2}+n-1)+y_{1}y_{2}=0$ ，即

$(m^2+1)y_1y_2+m(n-1)(y_1+y_2)+(n-1)^2=0$ ，
将

$y_{1}+y_{2}=4m$ ，

$y_{2}=-4n$ ，代入得

$4m^{2}=n^{2}-6n+1$ ，

$\therefore 4(m^{2}+n)=(n-1)^{2} > 0$ ，所以

$n\ne 1$ ，且

$n^{2}-6n+1\geqslant 0$ ，解得

$n\geqslant 3+2\sqrt{2}$ 或

$n\leqslant 3-2\sqrt{2}$ ．
设点

$F$ 到直线

$MN$ 的距离为

$d$ ，所以

$d=\dfrac{\vert n-1\vert }{\sqrt{1+{m}^{2}}}$ ，

$\vert MN\vert =\sqrt{1+{m}^{2}}\vert y_{1}-y_{2}\vert =\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{16{m}^{2}+16n}$

$=\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{4({n}^{2}-6n+1)+16n}=2\sqrt{1+{m}^{2}}\vert n-1\vert$ ，
所以

$\Delta MNF$ 的面积

$S=\dfrac{1}{2}\vert MN\vert \times d=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\vert n-1\vert }{\sqrt{{m}^{2}+1}}\times 2\sqrt{1+{m}^{2}}\vert n-1\vert$ ，
又

$n\geqslant 3+2\sqrt{2}$ 或

$n\leqslant 3-2\sqrt{2}$ ，所以当

$n=3-2\sqrt{2}$ 时，

$\Delta MNF$ 的面积

$S_{min}=(2-2\sqrt{2})^{2}=12-8\sqrt{2}$ ．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的应用，考查三角形的问题的最值问题，考查方程思想，属难题．

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