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2023年高考数学甲卷-文21<-->2023年高考数学甲卷-文23
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知点$P(2,1)$，直线$l:\left\{\begin{array}{l}{x=2+t\cos \alpha ,}\\ {y=1+t\sin \alpha }\end{array}\right.(t$为参数），$\alpha$为$l$的倾斜角，$l$与$x$轴正半轴、$y$轴正半轴分别交于$A$，$B$，且$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$．
（1）求$\alpha$；
（2）以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，求$l$的极坐标方程．
答案：（1）$\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$；
（2）$\rho =\dfrac{3}{\sin \theta +\cos \theta }$．
分析：（1）先把参数方程化为普通方程，然后求出$A$，$B$的坐标，进而可求$\vert PA\vert \vert PB\vert$，结合已知可求$\tan \alpha$，进而可求$\alpha$；
（2）结合（1）先求出直线$l$的直角坐标方程，然后结合直角坐标与极坐标的相互转化公式即可求解．
解：（1）直线$l:\left\{\begin{array}{l}{x=2+t\cos \alpha ,}\\ {y=1+t\sin \alpha }\end{array}\right.(t$为参数）化为普通方程为$y=\tan \alpha (x-2)+1$，
令$x=0$，得$y=1-2\tan \alpha$，令$y=0$，得$x=2-\dfrac{1}{\tan \alpha }$，
所以$\vert PA\vert =\sqrt{1+\dfrac{1}{ta{n}^{2}\alpha }}$，$\vert PB\vert =\sqrt{4+4ta{n}^{2}\alpha }$，
所以$\vert PA\vert \vert PB\vert =\sqrt{8+4ta{n}^{2}\alpha +\dfrac{4}{ta{n}^{2}\alpha }}=4$，
整理得$\tan ^{2}\alpha =1$，
因为$l$与$x$轴正半轴、$y$轴正半轴分别交于$A$，$B$，
所以$\tan \alpha < 0$，
所以$\tan \alpha =-1$，
故$\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$；
（2）由（1）得$y=-(x-2)+1$，即$x+y-3=0$，
因为$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，
所以极坐标方程为$\rho \cos \theta +\rho \sin \theta -3=0$，
即$\rho =\dfrac{3}{\sin \theta +\cos \theta }$．
点评：本题主要考查了直线坐标与极坐标的互化，还考查了直角坐标的普通方程与参数方程的相互转化，属于中档题．
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