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2023年高考数学甲卷-文22

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[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知点

$P(2,1)$ ，直线

$l:\left\{\begin{array}{l}{x=2+t\cos \alpha ,}\\ {y=1+t\sin \alpha }\end{array}\right.(t$ 为参数），

$\alpha$ 为

$l$ 的倾斜角，

$l$ 与

$x$ 轴正半轴、

$y$ 轴正半轴分别交于

$A$ ，

$B$ ，且

$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$ ．
（1）求

$\alpha$ ；
（2）以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求

$l$ 的极坐标方程．
答案：（1）

$\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$ ；
（2）

$\rho =\dfrac{3}{\sin \theta +\cos \theta }$ ．
分析：（1）先把参数方程化为普通方程，然后求出

$A$ ，

$B$ 的坐标，进而可求

$\vert PA\vert \vert PB\vert$ ，结合已知可求

$\tan \alpha$ ，进而可求

$\alpha$ ；
（2）结合（1）先求出直线

$l$ 的直角坐标方程，然后结合直角坐标与极坐标的相互转化公式即可求解．
解：（1）直线

$l:\left\{\begin{array}{l}{x=2+t\cos \alpha ,}\\ {y=1+t\sin \alpha }\end{array}\right.(t$ 为参数）化为普通方程为

$y=\tan \alpha (x-2)+1$ ，
令

$x=0$ ，得

$y=1-2\tan \alpha$ ，令

$y=0$ ，得

$x=2-\dfrac{1}{\tan \alpha }$ ，
所以

$\vert PA\vert =\sqrt{1+\dfrac{1}{ta{n}^{2}\alpha }}$ ，

$\vert PB\vert =\sqrt{4+4ta{n}^{2}\alpha }$ ，
所以

$\vert PA\vert \vert PB\vert =\sqrt{8+4ta{n}^{2}\alpha +\dfrac{4}{ta{n}^{2}\alpha }}=4$ ，
整理得

$\tan ^{2}\alpha =1$ ，
因为

$l$ 与

$x$ 轴正半轴、

$y$ 轴正半轴分别交于

$A$ ，

$B$ ，
所以

$\tan \alpha < 0$ ，
所以

$\tan \alpha =-1$ ，
故

$\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$ ；
（2）由（1）得

$y=-(x-2)+1$ ，即

$x+y-3=0$ ，
因为

$x=\rho \cos \theta$ ，

$y=\rho \sin \theta$ ，
所以极坐标方程为

$\rho \cos \theta +\rho \sin \theta -3=0$ ，
即

$\rho =\dfrac{3}{\sin \theta +\cos \theta }$ ．
点评：本题主要考查了直线坐标与极坐标的互化，还考查了直角坐标的普通方程与参数方程的相互转化，属于中档题．

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