2024年全国甲理

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2024年高考数学甲卷-理1（5分）设

$z=5+i$ ，则

$i(\overline{z}+z)=$ (　　)
A．

$10i$ B．

$2i$ C．10 D．

$-2$ 【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理2（5分）集合

$A=\{1$ ，2，3，4，5，

$9\}$ ，

$B=\{x\vert \sqrt{x}\in A\}$ ，则

$\complement _{A}(A\bigcap B)=$ (　　)
A．

$\{1，4，9\}$ B．

$\{3，4，9\}$ C．

$\{1，2，3\}$ D．

$\{2，3，5\}$ 【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理3（5分）若实数

$x$ ，

$y$ 满足约束条件

$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y-3\geqslant 0,}\\ {x-2y-2\leqslant 0,}\\ {2x+6y-9\leqslant 0,}\end{array}\right.$ 则

$z=x-5y$ 的最小值为(　　)
A．5 B．

$\dfrac{1}{2}$ C．

$-2$ D．

$-\dfrac{7}{2}$ 【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理4（5分）记

$S_{n}$ 为等差数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和．若

$S_{5}=S_{10}$ ，

$a_{5}=1$ ，则

$a_{1}=$ (　　)
A．

$-2$ B．

$\dfrac{7}{3}$ C．1 D．2【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理5（5分）已知双曲线的两个焦点分别为

$F_{1}(0,4)$ ，

$F_{2}(0,-4)$ ，点

$(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．

$\sqrt{2}$ 【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理6（5分）设函数

$f(x)=\dfrac{{e}^{x}+2\sin x}{1+{x}^{2}}$ ，则曲线

$y=f(x)$ 在点

$(0,1)$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A．

$\dfrac{1}{6}$ B．

$\dfrac{1}{3}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．

$\dfrac{2}{3}$ 【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理7（5分）函数

$f(x)=-x^{2}+(e^{x}-e^{-x})\sin x$ 的区间

$[-2.8$ ，

$2.8]$ 的图像大致为(　　)
A．

B．

C．

D．

【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理8（5分）已知

$\dfrac{\cos \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=\sqrt{3}$ ，则

$\tan (\alpha +\dfrac{\pi }{4})=$ (　　)
A．

$2\sqrt{3}+1$ B．

$2\sqrt{3}-1$ C．

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ D．

$1-\sqrt{3}$ 【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理9（5分）已知向量

$\overrightarrow{a}=(x+1,x)$ ，

$\overrightarrow{b}=(x,2)$ ，则

$($ 　　

$)$
A．“

$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$ ”的必要条件是“

$x=-3$ ”
B．“

$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$ ”的必要条件是“

$x=-3$ ”
C．“

$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$ ”的充分条件是“

$x=0$ ”
D．“

$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$ ”的充分条件是“

$x=-1+\sqrt{3}$ ”【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理10（5分）已知

$\alpha$ 、

$\beta$ 是两个平面，

$m$ 、

$n$ 是两条直线，

$\alpha \bigcap \beta =m$ ．下列四个命题：
①若

$m//n$ ，则

$n//\alpha$ 或

$n//\beta$
②若

$m\bot n$ ，则

$n\bot \alpha$ ，

$n\bot \beta$
③若

$n//\alpha$ ，且

$n//\beta$ ，则

$m//n$
④若

$n$ 与

$\alpha$ 和

$\beta$ 所成的角相等，则

$m\bot n$
其中，所有真命题的编号是

$($ 　　

$)$
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理11（5分）在

$\Delta ABC$ 中，内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 所对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，若

$B=\dfrac{\pi }{3}$ ，

$b^2=\dfrac{9}{4}ac$ ，则

$\sin A+\sin C=($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{3}{2}$ B．

$\sqrt{2}$ C．

$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ D．

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理12（5分）已知

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 成等差数列，直线

$ax+by+c=0$ 与圆

$C:x^{2}+(y+2)^{2}=5$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，则

$\vert AB\vert$ 的最小值为

$($ 　　

$)$
A．2 B．3 C．4 D．6【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理13（5分）二项式

$(\dfrac{1}{3}+x)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是 ____．【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理14（5分）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为

$r_{2}$ 和

$r_{1}$ ，母线长分别为

$2(r_{1}-r_{2})$ 和

$3(r_{1}-r_{2})$ ，则两个圆台的体积之比

$\dfrac{{{V}_{}}}{{{V}_{}}}=$ ____．
【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理15（5分）已知

$a > 1$ ，

$\dfrac{1}{\log _8a}-\dfrac{1}{\log _a4}=-\dfrac{5}{2}$ ，则

$a=$ 　____．【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理16（5分）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记

$m$ 表示前两个球号码的平均数，记

$n$ 表示前三个球号码的平均数，则

$m$ 与

$n$ 差的绝对值不超过

$\dfrac{1}{2}$ 的概率是 ____．【答案详解】

2024年高考数学甲卷-理17（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	26	24	0	50
乙车间	70	28	2	100
总计	96	52	2	150

（1）填写如下列联表：

	优级品	非优级品
甲车间
乙车间

能否有

$95%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有

$99%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率

$p=0.5$ ．设

$\overline{p}$ 为升级改造后抽取的

$n$ 件产品的优级品率．如果

$\overline{p} > p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？

$(\sqrt{150}\approx 12.247)$
附：

$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理18（12分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ，且

$4S_{n}=3a_{n}+4$ ．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设

$b_n=(-1)^{n-1}na_n$ ，求数列

$\{b_{n}\}$ 的前

$n$ 项和为

$T_{n}$ ．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理19（12分）如图，在以

$A$ ，

$B$ ，

$C$ ，

$D$ ，

$E$ ，

$F$ 为顶点的五面体中，四边形

$ABCD$ 与四边形

$CDEF$ 均为等腰梯形，

$AB//CD$ ，

$CD//EF$ ，

$AB=DE=EF=CF=2$ ，

$CD=4$ ，

$AD=BC=\sqrt{10}$ ，

$AE=2\sqrt{3}$ ，

$M$ 为

$CD$ 的中点．
（1）证明：

$EM//$ 平面

$BCF$ ；
（2）求二面角

$A-EM-B$ 的正弦值．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理20（12分）已知函数

$f(x)=(1-ax)\ln (1+x)-x$ ．
（1）当

$a=-2$ 时，求

$f(x)$ 的极值；
（2）当

$x\geqslant 0$ 时，

$f(x)\geqslant 0$ ，求

$a$ 的取值范围．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理21（12分）已知椭圆

$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的右焦点为

$F$ ，点

$M(1,\frac{3}{2})$ 在椭圆

$C$ 上，且

$MF\bot x$ 轴．
（1）求椭圆

$C$ 的方程；
（2）

$P(4,0)$ ，过

$P$ 的直线与椭圆

$C$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$N$ 为

$FP$ 的中点，直线

$NB$ 与

$MF$ 交于

$Q$ ，证明：

$AQ\bot y$ 轴．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理22[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系

$xOy$ 中，以坐标原点

$O$ 为极点，

$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C$ 的极坐标方程为

$\rho =\rho \\cos \theta +1$ ．
（1）写出

$C$ 的直角坐标方程；
（2）直线

$l:\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.(t$ 为参数），若

$C$ 与

$l$ 交于

$A$ 、

$B$ 两点，

$\vert AB\vert =2$ ，求

$a$ 的值．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理23[选修4-5：不等式选讲]
23．实数

$a$ ，

$b$ 满足

$a+b\geqslant 3$ ．
（1）证明：

$2a^{2}+2b^{2} > a+b$ ；
（2）证明：

$\vert a-2b^{2}\vert +\vert b-2a^{2}\vert \geqslant 6$ ．
【答案详解】

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