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2024年高考数学甲卷-理19<-->2023年高考数学甲卷-理21
（12分）已知函数$f(x)=(1-ax)\ln (1+x)-x$．
（1）当$a=-2$时，求$f(x)$的极值；
（2）当$x\geqslant 0$时，$f(x)\geqslant 0$，求$a$的取值范围．
分析：（1）当$a=-2$时，$f(x)=(1+2x)\ln (1+x)-x$，$x > -1$，$f\prime (x)=2\ln (1+x)+\dfrac{x}{1+x}$，利用导数判断$f(x)$的单调性，进而可求$f(x)$的极值；
（2）$f\prime (x)=-a\ln (1+x)-\dfrac{(a+1)x}{1+x}$，令$g(x)=f\prime (x)$，则$g\prime (x)=-\dfrac{a}{1+x}-\dfrac{a+1}{(1+x)^2}$，$x\geqslant 0$时，$f(x)\geqslant 0$，且$f(0)=0$，$f\prime (0)=0$，所以$g\prime (0)=-1-2a\geqslant 0$，由此求出$a$的取值范围即可．
解：（1）当$a=-2$ 时，$f(x)=(1+2x)\ln (1+x)-x$，$x > -1$，
$f\prime (x)=2\ln (1+x)+\dfrac{x}{1+x}$，
当$-1 < x < 0$时，$f\prime (x) < 0$；当$x > 0$时，$f\prime (x) > 0$，
所以$f(x)$在$(-1,0)$上单调递减，在$(0,+\infty )$上单调递增，
故$f(x)$的极小值为$f(0)=0$，无极大值；
（2）由$f(x)=(1-ax)\ln (1+x)-x$，得$f\prime (x)=-a\ln (1+x)-\dfrac{(a+1)x}{1+x}$，
令$g(x)=f\prime (x)$，则$g\prime (x)=-\dfrac{a}{1+x}-\dfrac{a+1}{(1+x)^2}$，
当$x\geqslant 0$时，$f(x)\geqslant 0$，且$f(0)=0$，$f\prime (0)=0$，
所以$g\prime (0)=-1-2a\geqslant 0$，$a\leqslant -\dfrac{1}{2}$，
当$a\leqslant -\dfrac{1}{2}$时，$g\prime (x)\geqslant \dfrac{1}{2(1+x)}-\dfrac{1}{2(1+x)^{2}}=\dfrac{x}{2(1+x)^{2}}\geqslant 0$，
所以$g(x)$在$[0$，$+\infty )$上单调递增，$g(x)=f\prime (x)\geqslant g(0)=0$，
故$f(x)$在$[0$，$+\infty )$上单调递增，$f(x)\geqslant f(0)=0$恒成立，
即$a$的取值范围为$(-\infty ,-\dfrac{1}{2}]$．
点评：本题考查函数的极值的求法，考查导数性质、函数的极值、单调性等知识，属于中档题．
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