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2024年高考数学甲卷-理20

2024年高考数学甲卷-理19<-->2023年高考数学甲卷-理21

（12分）已知函数

$f(x)=(1-ax)\ln (1+x)-x$ ．
（1）当

$a=-2$ 时，求

$f(x)$ 的极值；
（2）当

$x\geqslant 0$ 时，

$f(x)\geqslant 0$ ，求

$a$ 的取值范围．
分析：（1）当

$a=-2$ 时，

$f(x)=(1+2x)\ln (1+x)-x$ ，

$x > -1$ ，

$f\prime (x)=2\ln (1+x)+\dfrac{x}{1+x}$ ，利用导数判断

$f(x)$ 的单调性，进而可求

$f(x)$ 的极值；
（2）

$f\prime (x)=-a\ln (1+x)-\dfrac{(a+1)x}{1+x}$ ，令

$g(x)=f\prime (x)$ ，则

$g\prime (x)=-\dfrac{a}{1+x}-\dfrac{a+1}{(1+x)^2}$ ，

$x\geqslant 0$ 时，

$f(x)\geqslant 0$ ，且

$f(0)=0$ ，

$f\prime (0)=0$ ，所以

$g\prime (0)=-1-2a\geqslant 0$ ，由此求出

$a$ 的取值范围即可．
解：（1）当

$a=-2$ 时，

$f(x)=(1+2x)\ln (1+x)-x$ ，

$x > -1$ ，

$f\prime (x)=2\ln (1+x)+\dfrac{x}{1+x}$ ，
当

$-1 < x < 0$ 时，

$f\prime (x) < 0$ ；当

$x > 0$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，
所以

$f(x)$ 在

$(-1,0)$ 上单调递减，在

$(0,+\infty )$ 上单调递增，
故

$f(x)$ 的极小值为

$f(0)=0$ ，无极大值；
（2）由

$f(x)=(1-ax)\ln (1+x)-x$ ，得

$f\prime (x)=-a\ln (1+x)-\dfrac{(a+1)x}{1+x}$ ，
令

$g(x)=f\prime (x)$ ，则

$g\prime (x)=-\dfrac{a}{1+x}-\dfrac{a+1}{(1+x)^2}$ ，
当

$x\geqslant 0$ 时，

$f(x)\geqslant 0$ ，且

$f(0)=0$ ，

$f\prime (0)=0$ ，
所以

$g\prime (0)=-1-2a\geqslant 0$ ，

$a\leqslant -\dfrac{1}{2}$ ，
当

$a\leqslant -\dfrac{1}{2}$ 时，

$g\prime (x)\geqslant \dfrac{1}{2(1+x)}-\dfrac{1}{2(1+x)^{2}}=\dfrac{x}{2(1+x)^{2}}\geqslant 0$ ，
所以

$g(x)$ 在

$[0$ ，

$+\infty )$ 上单调递增，

$g(x)=f\prime (x)\geqslant g(0)=0$ ，
故

$f(x)$ 在

$[0$ ，

$+\infty )$ 上单调递增，

$f(x)\geqslant f(0)=0$ 恒成立，
即

$a$ 的取值范围为

$(-\infty ,-\dfrac{1}{2}]$ ．
点评：本题考查函数的极值的求法，考查导数性质、函数的极值、单调性等知识，属于中档题．

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