2024年高考数学甲卷-理23

[选修4-5：不等式选讲]
23．实数

$a$ ，

$b$ 满足

$a+b\geqslant 3$ ．
（1）证明：

$2a^{2}+2b^{2} > a+b$ ；
（2）证明：

$\vert a-2b^{2}\vert +\vert b-2a^{2}\vert \geqslant 6$ ．
分析：（1）结合基本不等式的变形，即可求解；
（2）结合绝对值的三角不等式的公式，以及（1）的结论，即可求解．
证明：（1）

$a+b\geqslant 3$ ，
则

$2a^{2}+2b^{2}\geqslant (a+b)^{2} > a+b$ ；
（2）

$\vert a-2b^{2}\vert +\vert b-2a^{2}\vert$

$\geqslant \vert a-2b^{2}+b-2a^{2}\vert =\vert 2a^{2}+2b^{2}-(a+b)\vert =2a^{2}+2b^{2}-(a+b)$

$\geqslant (a+b)^{2}-(a+b)=(a+b)(a+b-1)\geqslant 6$ ，
当且仅当

$(a-2b^{2})(b-2a^{2})\geqslant 0$ ，

$a=b$ 时，等号成立，
故

$\vert a-2b^{2}\vert +\vert b-2a^{2}\vert \geqslant 6$ ，原式得证．
点评：本题主要考查不等式的证明，考查基本不等式公式的应用，属于中档题．

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