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2024年高考数学甲卷-理22

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[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系

$xOy$ 中，以坐标原点

$O$ 为极点，

$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C$ 的极坐标方程为

$\rho =\rho \cos \theta +1$ ．
（1）写出

$C$ 的直角坐标方程；
（2）直线

$l:\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.(t$ 为参数），若

$C$ 与

$l$ 交于

$A$ 、

$B$ 两点，

$\vert AB\vert =2$ ，求

$a$ 的值．
分析：（1）由极坐标与直角坐标转化公式即可得到曲线

$C$ 的直角坐标方程；
（2）联立直线和曲线

$C$ 的方程得

$t^{2}+2(a-1)t+a^{2}-1=0$ ，由题意及直线参数方程的几何意义得

$\vert AB\vert =\sqrt{2}\vert t_{1}-t_{2}\vert =\sqrt{16(1-a)}=2$ ，解方程即可．
解：（1）因为

$\rho =\rho \cos \theta +1$ ，所以

$\rho ^{2}=(\rho \cos \theta +1)^{2}$ ，
因为

$\rho \cos \theta =x$ ，

$\rho \\sin \theta =y$ ，
故

$C$ 的直角坐标方程为

$x^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}$ ，即

$y^{2}=2x+1$ ．
（2）将

$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.(t$ 为参数），
代入

$y^{2}=2x+1$ ，整理得：

$t^{2}+2(a-1)t+a^{2}-1=0$ ，
设方程的两根分别为

$t_{1}$ ，

$t_{2}$ ，
由△

$=4(a-1)^{2}-4(a^{2}-1) > 0$ ，得

$a < 1$ ，
由根与系数的关系得

$t_{1}+t_{2}=-2(a-1)$ ，

$t_{1}\cdot t_{2}=a^{2}-1$ ，
依题意及直线参数方程的几何意义得

$\vert AB\vert =\sqrt{2}\vert t_{1}-t_{2}\vert =\sqrt{2}\cdot \sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}=\sqrt{16(1-a)}=2$ ，
解得：

$a=\dfrac{3}{4}$ ．
点评：本题考查极坐标与直角方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，属于中档题．

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