2024年高考数学甲卷-理6

（5分）设函数

$f(x)=\dfrac{{e}^{x}+2\sin x}{1+{x}^{2}}$ ，则曲线

$y=f(x)$ 在点

$(0,1)$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A．

$\dfrac{1}{6}$ B．

$\dfrac{1}{3}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．

$\dfrac{2}{3}$
答案：

$A$
分析：根据已知条件，结合导数的几何意义，求出切线的斜率，再结合切点，求出切线方程，即可求解．
解：

$f(x)=\dfrac{{e}^{x}+2\sin x}{1+{x}^{2}}$ ，
则

$f'(x)=\dfrac{({e}^{x}+2\cos x)(1+{x}^{2})-({e}^{x}+2\sin x)2x}{(1+{x}^{2})^{2}}$ ，
故

$f'(0)=3$ ，
所以曲线

$y=f(x)$ 在点

$(0,1)$ 处的切线为

$y=3x-1$ ，
令

$x=0$ ，解得

$y=-1$ ，
令

$y=0$ ，解得

$x=\dfrac{1}{3}$ ，
故所求三角形的面积为

$S=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}\times 1=\dfrac{1}{6}$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．

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