2024年高考数学甲卷-理12

（5分）已知

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 成等差数列，直线

$ax+by+c=0$ 与圆

$C:x^{2}+(y+2)^{2}=5$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，则

$\vert AB\vert$ 的最小值为

$($ 　　

$)$
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：

$C$
分析：由已知结合等差数列的性质可知，直线过定点

$(1,-2)$ ，然后结合两点间距离公式即可求解．
解：因为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 成等差数列，所以

$a-2b+c=0$ ，
所以直线

$ax+by+c=0$ 恒过

$P(1,-2)$ ，
因为

$P(1,-2)$ 在圆

$C:x^{2}+(y+2)^{2}=5$ 内，
当

$PC\bot AB$ 时，

$\vert AB\vert$ 取得最小值，此时

$\vert PC\vert =1$ ，

$\vert AB\vert =2\sqrt{5-\vert PC\vert ^2}=4$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题主要考查了等差数列的性质，直线恒过定点的判断，还考查了距离公式的应用，属于中档题．

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