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2024年高考数学甲卷-理20<-->2023年高考数学甲卷-理22
（12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M(1,32)在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P(4,0)，过P的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
分析：（1）根据已知条件，结合椭圆的定义，以及勾股定理，求出a，再结合椭圆的性质，求出b，即可求解；
（2）结合向量的坐标运算，推得{λx2=4+4λ−x1λy2=−y1，再结合点A，B两点位于椭圆上，求出等式，再结合直线NB与MF交于Q，即可求解．
解：（1）设椭圆C的左焦点为F1，
点M(1,32)在椭圆C上，且MF⊥x轴，
则|F1F|=2，|MF|=32，
由勾股定理可知，|MF1|=52，
故2a=|MF1|+|MF|=4，解得a2=4，b2=a2−1=3，
故椭圆C的方程为x24+y23=1；
（2）证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
→AP=λ→PB，
则{x1+λx21+λ=4y1+λy21+λ=0，即{λx2=4+4λ−x1λy2=−y1①，
又由{3x21+4y21=123(λx2)2+4(λy2)2=12λ2可得3⋅x1+λx21+λ⋅x1−λx21−λ+4y1+λy21+λ⋅y1−λy21−λ=12②，
结合①②可得，5λ−2λx2+3=0，
P(4,0)，F(1,0)，N(52,0)，B(x2，y2)，
则直线NB的方程为y−0=y2x2−52(x−52)，
MF⊥x轴，直线NB与MF交于Q，
则xQ=1，
故yQ=3y25−2x2=3λy25λ−2λx2=−λy2=y1，
故AQ⊥y轴．
点评：本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
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