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2024年高考数学甲卷-理18<-->2023年高考数学甲卷-理20
（12分）如图，在以$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$为顶点的五面体中，四边形$ABCD$与四边形$CDEF$均为等腰梯形，$AB//CD$，$CD//EF$，$AB=DE=EF=CF=2$，$CD=4$，$AD=BC=\sqrt{10}$，$AE=2\sqrt{3}$，$M$为$CD$的中点．
（1）证明：$EM//$平面$BCF$；
（2）求二面角$A-EM-B$的正弦值．
分析：（1）易证四边形$EFCM$为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）取$DM$的中点$O$，连结$OA$，$OE$，则$OA\bot DM$，$OE\bot DM$，$OA\bot OE$，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角即可．
（1）证明：由题意得：$EF//CM$，$EF=CM$，
所以四边形$EFCM$为平行四边形，
所以$EM//CF$，
而$EM\not\subset$平面$BCF$，$CF\subset$平面$BCF$，
所以$EM//$平面$BCF$．
（2）解：取$DM$的中点$O$，连结$OA$，$OE$，
由已知得，$\Delta EMD$是边长为2的等边三角形，$\Delta ADM$是以$AD=AM=\sqrt{10}$为腰的等腰三角形，
则$OE\bot DM$，$OA\bot DM$，$OA=3$，$OE=\sqrt{3}$，
故$OA\bot OE$，以$O$为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则$A(0$，0，$3)$，$E(\sqrt{3}$，0，$0)$，$M(0$，1，$0)$，$B(0$，2，$3)$，
$\overrightarrow{AE}=(\sqrt{3}$，0，$-3)$，$\overrightarrow{EM}=(-\sqrt{3}$，1，$0)$，$\overrightarrow{MB}=(0$，1，$3)$，
设平面$AEM$的法向量为$\overrightarrow{n}=(x$，$y$，$z)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-3z=0}\\ {-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
取$z=1$，则$\overrightarrow{n}=(\sqrt{3}$，3，$1)$，
同理，平面$BEM$的一个法向量为$\overrightarrow{m}=(\sqrt{3}$，3，$-1)$，
所以$\\cos < \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} > =\dfrac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{m}\vert \cdot \vert \overrightarrow{n}\vert }=\dfrac{11}{13}$，
$\\sin < \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} > =\dfrac{4\sqrt{3}}{13}$，
故二面角$A-EM-B$的正弦值$\dfrac{4\sqrt{3}}{13}$．
点评：本题考查了空间线面平行的判定，考查利用空间向量求二面角，属于中档题．
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