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2024年高考数学甲卷-理18<-->2023年高考数学甲卷-理20
（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB//CD，CD//EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4，AD=BC=√10，AE=2√3，M为CD的中点．
（1）证明：EM//平面BCF；
（2）求二面角A−EM−B的正弦值．
分析：（1）易证四边形EFCM为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）取DM的中点O，连结OA，OE，则OA⊥DM，OE⊥DM，OA⊥OE，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角即可．
（1）证明：由题意得：EF//CM，EF=CM，
所以四边形EFCM为平行四边形，
所以EM//CF，
而EM⊄平面BCF，CF⊂平面BCF，
所以EM//平面BCF．
（2）解：取DM的中点O，连结OA，OE，
由已知得，ΔEMD是边长为2的等边三角形，ΔADM是以AD=AM=√10为腰的等腰三角形，
则OE⊥DM，OA⊥DM，OA=3，OE=√3，
故OA⊥OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，3)，E(√3，0，0)，M(0，1，0)，B(0，2，3)，
→AE=(√3，0，−3)，→EM=(−√3，1，0)，→MB=(0，1，3)，
设平面AEM的法向量为→n=(x，y，z)，
则{→n⋅→AE=0→n⋅→EM=0，即{√3x−3z=0−√3x+y=0，
取z=1，则→n=(√3，3，1)，
同理，平面BEM的一个法向量为→m=(√3，3，−1)，
所以cos<→m,→n>=→m⋅→n|→m|⋅|→n|=1113，
sin<→m,→n>=4√313，
故二面角A−EM−B的正弦值4√313．
点评：本题考查了空间线面平行的判定，考查利用空间向量求二面角，属于中档题．
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