2024年高考数学甲卷-理13

（5分）二项式

$(\dfrac{1}{3}+x)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是 ____．
分析：根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
解：由于

${C}_{10}^{6}={C}_{10}^{4}$ ，

${C}_{10}^{7}={C}_{10}^{3}$ ，

${C}_{10}^{8}={C}_{10}^{2}$ ，

${C}_{10}^{9}={C}_{10}^{1}$ ，
则展开式中系数最大的项一定在下面的5项：

$C_{10}^{5}(\dfrac{1}{3})^{5}=\dfrac{28}{27}$ ，

${C}_{10}^{6}(\dfrac{1}{3})^{4}=\dfrac{70}{27}$ ，

${C}_{10}^{7}(\dfrac{1}{3})^{3}=\dfrac{40}{9}$ ，

${C}_{10}^{8}(\dfrac{1}{3})^{2}=5$ ，

$C_{10}^{9}(\dfrac{1}{3})^{1}=\dfrac{10}{3}$ ，
故系数的最大值为

$C_{10}^{8}(\dfrac{1}{3})^2=5$ ．
故答案为：5．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．

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