2024年高考数学甲卷-理18

（12分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ，且

$4S_{n}=3a_{n}+4$ ．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设

$b_n=(-1)^{n-1}na_n$ ，求数列

$\{b_{n}\}$ 的前

$n$ 项和为

$T_{n}$ ．
分析：（1）由已知和与项的递推关系进行转化，然后结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）先求出

$b_{n}$ ，然后结合错位相减求和即可求解．
解：（1）因为

$4S_{n}=3a_{n}+4$ ，
所以

$4S_{n+1}=3a_{n+1}+4$ ，
两式相减可得

$4a_{n+1}=3a_{n+1}-3a_{n}$ ，
即

$a_{n+1}=-3a_{n}$ ，又因为

$4S_{1}=3a_{1}+4$ ，
所以

$a_{1}=4$ ，故数列

$\{a_{n}\}$ 是首项为4，公比为

$-3$ 的等比数列，
所以

$a_n=4\cdot (-3)^{n-1}$ ；
（2）

$b_n=(-1)^{n-1}na_n=4n\cdot 3^{n-1}$ ，
所以

$T_n=4(1\cdot 3^0+2\cdot 3^1+3\cdot 3^2+\cdots +n\cdot 3^{n-1})$ ，

$3T_n=4(l\cdot 3^1+2\cdot 3^2+3\cdot 3^{3}+\dotsb +n\cdot 3^{n})$ ，
两式相减可得：

$-2T_n=4(1+3^1+3^2+\cdots +3^{n-1}-n\cdot 3^n)=4(1-3^n-n\cdot 3^n)=(2-4n)3^{n}-2$ ，
所以

$T_n=(2n-1)3^n+1$ ．
点评：本题主要考查了和与项的递推关系及等比数列的通项公式的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．

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