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2024年高考数学甲卷-理17<-->2023年高考数学甲卷-理19
（12分）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$4S_{n}=3a_{n}+4$．
（1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）设$b_n=(-1)^{n-1}na_n$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$．
分析：（1）由已知和与项的递推关系进行转化，然后结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）先求出$b_{n}$，然后结合错位相减求和即可求解．
解：（1）因为$4S_{n}=3a_{n}+4$，
所以$4S_{n+1}=3a_{n+1}+4$，
两式相减可得$4a_{n+1}=3a_{n+1}-3a_{n}$，
即$a_{n+1}=-3a_{n}$，又因为$4S_{1}=3a_{1}+4$，
所以$a_{1}=4$，故数列$\{a_{n}\}$是首项为4，公比为$-3$的等比数列，
所以$a_n=4\cdot (-3)^{n-1}$；
（2）$b_n=(-1)^{n-1}na_n=4n\cdot 3^{n-1}$，
所以$T_n=4(1\cdot 3^0+2\cdot 3^1+3\cdot 3^2+\cdots +n\cdot 3^{n-1})$，
$3T_n=4(l\cdot 3^1+2\cdot 3^2+3\cdot 3^{3}+\dotsb +n\cdot 3^{n})$，
两式相减可得：$-2T_n=4(1+3^1+3^2+\cdots +3^{n-1}-n\cdot 3^n)=4(1-3^n-n\cdot 3^n)=(2-4n)3^{n}-2$，
所以$T_n=(2n-1)3^n+1$．
点评：本题主要考查了和与项的递推关系及等比数列的通项公式的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
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