2024年高考数学甲卷-理11

（5分）在

$\Delta ABC$ 中，内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 所对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，若

$B=\dfrac{\pi }{3}$ ，

$b^2=\dfrac{9}{4}ac$ ，则

$\sin A+\sin C=($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{3}{2}$ B．

$\sqrt{2}$ C．

$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ D．

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案：

$C$
分析：根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．
解：因为

$B=\dfrac{\pi }{3}$ ，

$b^2=\dfrac{9}{4}ac$ ，
所以由正弦定理可得，

$\sin A\sin C=\dfrac{4}{9}\sin ^{2}B=\dfrac{1}{3}$ ，
由余弦定理可得：

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos B=a^{2}+c^{2}-ac=\dfrac{9}{4}ac$ ，即

$a^2+c^2=\dfrac{13}{4}ac$ ，

$\sin ^2A+\sin ^2C=\dfrac{13}{4}\sin A\sin C=\dfrac{13}{12}$ ，
所以

$(\sin A+\sin C)^{2}=\sin ^{2}A+\sin ^{2}C+2\sin A\sin C=\dfrac{7}{4}$ ，

$\sin A+\sin C=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．

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