2023年全国甲理

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2023年高考数学甲卷-理1（5分）设集合

$A=\{x\vert x=3k+1$ ，

$k\in Z\}$ ，

$B=\{x\vert x=3k+2$ ，

$k\in Z\}$ ，

$U$ 为整数集，则

$\complement _{U}(A\bigcup B)=($ 　　

$)$
A．

$\{x\vert x=3k$ ，

$k\in Z\}$ B．

$\{x\vert x=3k-1$ ，

$k\in Z\}$ C．

$\{x\vert x=3k-2$ ，

$k\in Z\}$ D．

$\varnothing$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理2（5分）若复数

$(a+i)(1-ai)=2$ ，

$a\in R$ ，则

$a=($ 　　

$)$
A．

$-1$ B．0 C．1 D．2【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理35分）执行下面的程序框图，输出的

$B=($ 　　

$)$

A．21 B．34 C．55 D．89【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理4（5分）向量

$\vert \overrightarrow{a}\vert =\vert \overrightarrow{b}\vert =1$ ，

$\vert \overrightarrow{c}\vert =\sqrt{2}$ ，且

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ ，则

$\cos \langle \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ ，

$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\rangle =($ 　　

$)$
A．

$-\dfrac{1}{5}$ B．

$-\dfrac{2}{5}$ C．

$\dfrac{2}{5}$ D．

$\dfrac{4}{5}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理5（5分）已知等比数列

$\{a_{n}\}$ 中，

$a_{1}=1$ ，

$S_{n}$ 为

$\{a_{n}\}$ 前

$n$ 项和，

$S_{5}=5S_{3}-4$ ，则

$S_{4}=($ 　　

$)$
A．7 B．9 C．15 D．30【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理6（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为

$($ 　　

$)$
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理7（5分）“

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta =1$ ”是“

$\sin \alpha +\cos \beta =0$ ”的

$($ 　　

$)$
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理8（5分）已知双曲线

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$ 的离心率为

$\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，则

$\vert AB\vert =($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{1}{5}$ B．

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ C．

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ D．

$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理9（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为

$($ 　　

$)$
A．120 B．60 C．40 D．30【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理10（5分）已知

$f(x)$ 为函数

$y=\cos (2x+\dfrac{\pi }{6})$ 向左平移

$\dfrac{\pi }{6}$ 个单位所得函数，则

$y=f(x)$ 与

$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$ 的交点个数为

$($ 　　

$)$
A．1 B．2 C．3 D．4【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理11（5分）在四棱锥

$P-ABCD$ 中，底面

$ABCD$ 为正方形，

$AB=4$ ，

$PC=PD=3$ ，

$\angle PCA=45^\circ$ ，则

$\Delta PBC$ 的面积为

$($ 　　

$)$
A．

$2\sqrt{2}$ B．

$3\sqrt{2}$ C．

$4\sqrt{2}$ D．

$5\sqrt{2}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理12（5分）已知椭圆

$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{6}=1$ ，

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 为两个焦点，

$O$ 为原点，

$P$ 为椭圆上一点，

$\cos \angle F_{1}PF_{2}=\dfrac{3}{5}$ ，则

$\vert PO\vert =($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{2}{5}$ B．

$\dfrac{\sqrt{30}}{2}$ C．

$\dfrac{3}{5}$ D．

$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$ 【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理13（5分）若

$y=(x-1)^{2}+ax+\sin (x+\dfrac{\pi }{2})$ 为偶函数，则

$a=$ ____．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理14（5分）设

$x$ ，

$y$ 满足约束条件

$\left\{\begin{array}{l}-2x+3y\leqslant 3\\ 3x-2y\leqslant 3\\ x+y\geqslant 1\end{array}\right.$ ，设

$z=3x+2y$ ，则

$z$ 的最大值为____．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理15（5分）在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$E$ ，

$F$ 分别为

$CD$ ，

$A_{1}B_{1}$ 的中点，则以

$EF$ 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理16（5分）在

$\Delta ABC$ 中，

$\angle BAC=60^\circ$ ，

$AB=2$ ，

$BC=\sqrt{6}$ ，

$D$ 为

$BC$ 上一点，

$AD$ 为

$\angle BAC$ 的平分线，则

$AD=$ ____．
【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理17（12分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 中，

$a_{2}=1$ ，设

$S_{n}$ 为

$\{a_{n}\}$ 前

$n$ 项和，

$2S_{n}=na_{n}$ ．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列

$\{\dfrac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}\}$ 的前

$n$ 项和

$T_{n}$ ．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理18（12分）在三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，

$AA_{1}=2$ ，

$A_{1}C\bot$ 底面

$ABC$ ，

$\angle ACB=90^\circ$ ，

$A_{1}$ 到平面

$BCC_{1}B_{1}$ 的距离为1．
（1）求证：

$AC=A_{1}C$ ；
（2）若直线

$AA_{1}$ 与

$BB_{1}$ 距离为2，求

$AB_{1}$ 与平面

$BCC_{1}B_{1}$ 所成角的正弦值．

【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理19（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：

$g)$ ．
（1）设

$X$ 表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求

$X$ 的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5

$(i)$ 求40只小白鼠体重的增加量的中位数

$m$ ，再分别统计两样本中小于

$m$ 与不小于

$m$ 的数据的个数，完成如下列联表：

	$< m$	$\geqslant m$
对照组
实验组

$(ii)$ 根据

$(i)$ 中的列联表，能否有

$95%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：

$K^{2}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^2}}{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}$ ，

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理20（12分）设抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ ，直线

$x-2y+1=0$ 与

$C$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，且

$\vert AB\vert =4\sqrt{15}$ ．
（1）求

$p$ 的值；
（2）

$F$ 为

$y^{2}=2px$ 的焦点，

$M$ ，

$N$ 为抛物线上的两点，且

$\overrightarrow{MF}\cdot \overrightarrow{NF}=0$ ，求

$\Delta MNF$ 面积的最小值．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理21（12分）已知

$f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{3}x}$ ，

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ．
（1）若

$a=8$ ，讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）若

$f(x) < \sin 2x$ 恒成立，求

$a$ 的取值范围．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理22[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）已知

$P(2,1)$ ，直线

$l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\cos \alpha \\ y=1+t\sin \alpha \end{array}\right.(t$ 为参数），

$\alpha$ 为

$l$ 的倾斜角，

$l$ 与

$x$ 轴，

$y$ 轴正半轴交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$ ．
（1）求

$\alpha$ 的值；
（2）以原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求

$l$ 的极坐标方程．【答案详解】

2023年高考数学甲卷-理23[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知

$f(x)=2\vert x-a\vert -a$ ，

$a > 0$ ．
（1）解不等式

$f(x) < x$ ；
（2）若曲线

$y=f(x)$ 与

$x$ 轴所围成的面积为2，求

$a$ ．【答案详解】

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