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2023年高考数学甲卷-理15

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（5分）在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$E$ ，

$F$ 分别为

$CD$ ，

$A_{1}B_{1}$ 的中点，则以

$EF$ 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 ____．
答案：12．
分析：根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，由此能求出结果．
解：在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$E$ ，

$F$ 分别为

$CD$ ，

$A_{1}B_{1}$ 的中点，
设正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中棱长为2，

$EF$ 中点为

$O$ ，
取

$AB$ ，

$BB_{1}$ 中点

$G$ ，

$M$ ，侧面

$BB_{1}C_{1}C$ 的中心为

$N$ ，
连接

$FG$ ，

$EG$ ，

$OM$ ，

$ON$ ，

$MN$ ，如图，

由题意得

$O$ 为球心，在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$EF=\sqrt{F{G}^{2}+E{G}^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$ ，

$\therefore R=\sqrt{2}$ ，
则球心

$O$ 到

$BB_{1}$ 的距离为

$OM=\sqrt{O{N}^{2}+M{N}^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ ，

$\therefore$ 球

$O$ 与棱

$BB_{1}$ 相切，球面与棱

$BB_{1}$ 只有一个交点，
同理，根据正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，

$\therefore$ 以

$EF$ 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．
故答案为：12．
点评：本题考查正方体的对称性、球心到各棱距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

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