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2023年高考数学甲卷-理11<-->2023年高考数学甲卷-理13
（5分）已知椭圆$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{6}=1$，$F_{1}$，$F_{2}$为两个焦点，$O$为原点，$P$为椭圆上一点，$\cos \angle F_{1}PF_{2}=\dfrac{3}{5}$，则$\vert PO\vert =($ $)$
A．$\dfrac{2}{5}$ B．$\dfrac{\sqrt{30}}{2}$ C．$\dfrac{3}{5}$ D．$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$
答案：$B$
分析：利用椭圆的定义，结合余弦定理，通过向量的模，然后转化求解即可．
解：椭圆$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{6}=1$，$F_{1}$，$F_{2}$为两个焦点，$c=\sqrt{3}$，
$O$为原点，$P$为椭圆上一点，$\cos \angle {F}_{1}P{F}_{2}=\dfrac{3}{5}$，
设$\vert PF_{1}\vert =m$，$\vert PF_{2}\vert =n$，不妨$m > n$，
可得$m+n=6$，$4c^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos \angle F_{1}PF_{2}$，即$12=m^{2}+n^{2}-\dfrac{6}{5}mn$，可得$mn=\dfrac{15}{2}$，$m^{2}+n^{2}=21$，
$\overrightarrow{PO}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}})$，
可得$\vert PO\vert ^{2}=\dfrac{1}{4}({\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}+2\overrightarrow{P{F}_{1}}\cdot \overrightarrow{P{F}_{2}})$
$=\dfrac{1}{4}(m^{2}+n^{2}+2mn\cos \angle F_{1}PF_{2})$
$=\dfrac{1}{4}(m^{2}+n^{2}+\dfrac{6}{5}mn)$
$=\dfrac{1}{4}(21+\dfrac{6}{5}\times \dfrac{15}{2})=\dfrac{15}{2}$．
可得$\vert PO\vert =\dfrac{\sqrt{30}}{2}$．
故选：$B$．
点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积以及余弦定理的应用，是中档题．
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