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2023年高考数学甲卷-理20<-->2023年高考数学甲卷-理22
（12分）已知$f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{3}x}$，$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$．
（1）若$a=8$，讨论$f(x)$的单调性；
（2）若$f(x) < \sin 2x$恒成立，求$a$的取值范围．
答案：（1）当$0 < x < \dfrac{\pi }{4}$时，$f(x)$单调递增；当$\dfrac{\pi }{4} < x < \dfrac{\pi }{2}$时，$f(x)$单调递减；
（2）$(-\infty$，$3]$．
分析：（1）由题意，将$a=8$代入$f(x)$的解析式中，对$f(x)$进行求导，利用导数即可得到$f(x)$的单调区间；
（2）构造函数$g(x)=f(x)-\sin 2x$，对$g(x)$进行求导，利用换元法，得到$g\prime (x)$的最大值，将最大值与0进行比较，得到$a$的分界点，再对$a$进行讨论即可．
解：（1）已知$f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{3}x}$，函数定义域为$(0,\dfrac{\pi }{2})$，
若$a=8$，此时$f(x)=8x-\dfrac{\sin x}{co{s}^{3}x}$，
可得$f\prime (x)=8-\dfrac{\cos x\cdot \cos ^{3}x+\sin x\cdot 3\cos ^{2}x\cdot \sin x}{co{s}^{6}x}$
$=\dfrac{(4\cos ^{2}x+3)(2\cos ^{2}x-1)}{co{s}^{4}x}$，
因为$4\cos 2x+3 > 0$，$\cos ^{4}x > 0$，
所以当$\cos x > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即$0 < x < \dfrac{\pi }{4}$时，$f\prime (x) > 0$，$f(x)$单调递增；
当$\cos x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即$\dfrac{\pi }{4} < x < \dfrac{\pi }{2}$时，$f\prime (x) < 0$，$f(x)$单调递减；
（2）不妨设$g(x)=ax-\dfrac{\sin x}{co{s}^{3}x}-\sin 2x$，函数定义域为$(0,\dfrac{\pi }{2})$，
$g\prime (x)=a-\dfrac{3-2\cos ^{2}x}{co{s}^{4}x}-2\cos 2x=a-\dfrac{3-2\cos ^{2}x}{co{s}^{4}x}-2(2\cos 2x-1)$，
令$\cos 2x=t$，$0 < t < 1$，
此时$g\prime (t)=a+2-4t+\dfrac{2}{t}-\dfrac{3}{t^{2}}$，
不妨令$k(t)=a+2-4t+\dfrac{2}{t}-\dfrac{3}{t^{2}}$，
可得$k\prime (t)=-4-\dfrac{2}{t^{2}}+\dfrac{6}{t^{3}}=-\dfrac{2(t-1)(2t^{2}+2t+3)}{t^{3}} > 0$，
所以$k(t)$单调递增，
此时$k(t) < k$（1）$=a-3$，
①当$a\leqslant 3$时，$g\prime (x)=k(t) < a-3\leqslant 0$，
所以$g(x)$在$(0,\dfrac{\pi }{2})$上单调递减，
此时$g(x) < g(0)=0$，
则当$a\leqslant 3$时，$f(x) < \sin 2x$恒成立，符合题意；
②当$a > 3$时，
当$t\rightarrow 0$时，$\dfrac{2}{t}-\dfrac{3}{t^{2}}=-3(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{3})2+\dfrac{1}{3}\rightarrow -\infty$，
所以$k(t)\rightarrow -\infty$，
又$k$（1）$=a-3 > 0$，
所以在区间$(0,1)$上存在一点$t_{0}$，使得$k(t_{0})=0$，
即存在$x_{0}\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，使得$g\prime (x_{0})=0$，
当$t_{0} < t < 1$时，$k(t) > 0$，
所以当$0 < x < x_{0}$时，$g\prime (x) > 0$，$g(x)$单调递增，
可得当$0 < x < x_{0}$时，$g(x) > g(0)=0$，不符合题意，
综上，$a$的取值范围为$(-\infty$，$3]$．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
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