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2023年高考数学甲卷-理3<-->2023年高考数学甲卷-理5
（5分）向量|→a|=|→b|=1，|→c|=√2，且→a+→b+→c=→0，则cos⟨→a−→c，→b−→c⟩=( )
A．−15 B．−25 C．25 D．45
答案：D
分析：根据题意，用→a、→b表示→c，利用模长公式求出cos<→a，→b>，再计算→a−→c与→b−→c的数量积和夹角余弦值．
解：因为向量|→a|=|→b|=1，|→c|=√2，且→a+→b+→c=→0，所以−→c=→a+→b，
所以→c2=→a2+→b2+2→a⋅→b，
即2=1+1+2×1×1×cos<→a，→b>，
解得cos<→a，→b>=0，
所以→a⊥→b，
又→a−→c=2→a+→b，→b−→c=→a+2→b，
所以(→a−→c)⋅(→b−→c)=(2→a+→b)⋅(→a+2→b)=2→a2+2→b2+5→a⋅→b=2+2+0=4，
|→a−→c|=|→b−→c|=√4→a2+4→a⋅→b+→b2=√4+0+1=√5，
所以cos⟨→a−→c，→b−→c⟩=(→a−→c)⋅(→b−→c)|→a−→c||→b−→c|=4√5×√5=45．
故选：D．
点评：本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题．
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