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2023年高考数学甲卷-理3<-->2023年高考数学甲卷-理5
（5分）向量$\vert \overrightarrow{a}\vert =\vert \overrightarrow{b}\vert =1$，$\vert \overrightarrow{c}\vert =\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，则$\cos \langle \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\rangle =($ $)$
A．$-\dfrac{1}{5}$ B．$-\dfrac{2}{5}$ C．$\dfrac{2}{5}$ D．$\dfrac{4}{5}$
答案：$D$
分析：根据题意，用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{c}$，利用模长公式求出$\cos < \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b} > $，再计算$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$的数量积和夹角余弦值．
解：因为向量$\vert \overrightarrow{a}\vert =\vert \overrightarrow{b}\vert =1$，$\vert \overrightarrow{c}\vert =\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，所以$-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
所以${\overrightarrow{c}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$，
即$2=1+1+2\times 1\times 1\times \cos < \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b} > $，
解得$\cos < \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b} > =0$，
所以$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$，
又$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，
所以$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})=2{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}+5\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2+2+0=4$，
$\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\vert =\vert \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\vert =\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}$，
所以$\cos \langle \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\rangle =\dfrac{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})}{\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\vert \vert \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\vert }=\dfrac{4}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}$．
故选：$D$．
点评：本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题．
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