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2023年高考数学甲卷-理22

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[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）已知

$P(2,1)$ ，直线

$l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\cos \alpha \\ y=1+t\sin \alpha \end{array}\right.(t$ 为参数），

$\alpha$ 为

$l$ 的倾斜角，

$l$ 与

$x$ 轴，

$y$ 轴正半轴交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$ ．
（1）求

$\alpha$ 的值；
（2）以原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求

$l$ 的极坐标方程．
答案：（1）

$\alpha =\dfrac{\pi }{4}$ 或

$\dfrac{3\pi }{4}$ ；（2）

$\rho \cos \alpha +\rho \sin \alpha =3$ ．
分析：（1）直接利用直线的参数方程建立方程

$\dfrac{2}{\vert \sin \alpha \vert \vert \cos \alpha \vert }=4$ ，进一步求出

$\alpha$ 的值；
（2）根据直线的参数方程，进一步利用分类讨论思想求出直线的极坐标方程．
解：（1）已知

$P(2,1)$ ，直线

$l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\cos \alpha \\ y=1+t\sin \alpha \end{array}\right.(t$ 为参数），

$l$ 与

$x$ 轴，

$y$ 轴正半轴交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$ ．
令

$x=0$ ，解得

${t}_{1}=\dfrac{-2}{\cos \alpha }$ ，令

$y=0$ ，解得

${t}_{2}=\dfrac{-1}{\sin \alpha }$ ，
由于

$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$ ，
所以

$\vert t_{1}\vert \vert t_{2}\vert =4$ ，故

$\dfrac{2}{\vert \sin \alpha \vert \vert \cos \alpha \vert }=4$ ，解得

$\dfrac{1}{2}\vert \sin 2\alpha \vert =\dfrac{1}{2}$ ，
故

$2\alpha =\dfrac{\pi }{2}$ 或

$\dfrac{3\pi }{2}$ ，解得

$\alpha =\dfrac{\pi }{4}$ 或

$\dfrac{3\pi }{4}$ ，
由于

$l$ 与

$x$ 轴，

$y$ 轴正半轴，所以直线

$l$ 的倾斜角

$\alpha \in (\dfrac{\pi }{2}$ ，

$\pi )$ ，
故

$\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$ ．
（2）由（1）可知

$\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$ ，

$l$ 斜率为

$-1$ ，且过

$(2,1)$ ，
所以直线

$l$ 方程为

$y-1=-(x-2)$ ，即

$x+y=3$ ，
因为

$x=\rho \cos \alpha$ ，

$y=\rho \sin \alpha$ ，
所以直线

$l$ 极坐标方程为

$\rho \cos \alpha +\rho \sin \alpha =3$ ．
点评：本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

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