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2023年高考数学甲卷-理21<-->2023年高考数学甲卷-理23
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）已知$P(2,1)$，直线$l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\cos \alpha \\ y=1+t\sin \alpha \end{array}\right.(t$为参数），$\alpha$为$l$的倾斜角，$l$与$x$轴，$y$轴正半轴交于$A$，$B$两点，$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$．
（1）求$\alpha$的值；
（2）以原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，求$l$的极坐标方程．
答案：（1）$\alpha =\dfrac{\pi }{4}$或$\dfrac{3\pi }{4}$；（2）$\rho \cos \alpha +\rho \sin \alpha =3$．
分析：（1）直接利用直线的参数方程建立方程$\dfrac{2}{\vert \sin \alpha \vert \vert \cos \alpha \vert }=4$，进一步求出$\alpha$的值；
（2）根据直线的参数方程，进一步利用分类讨论思想求出直线的极坐标方程．
解：（1）已知$P(2,1)$，直线$l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\cos \alpha \\ y=1+t\sin \alpha \end{array}\right.(t$为参数），$l$与$x$轴，$y$轴正半轴交于$A$，$B$两点，$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$．
令$x=0$，解得${t}_{1}=\dfrac{-2}{\cos \alpha }$，令$y=0$，解得${t}_{2}=\dfrac{-1}{\sin \alpha }$，
由于$\vert PA\vert \cdot \vert PB\vert =4$，
所以$\vert t_{1}\vert \vert t_{2}\vert =4$，故$\dfrac{2}{\vert \sin \alpha \vert \vert \cos \alpha \vert }=4$，解得$\dfrac{1}{2}\vert \sin 2\alpha \vert =\dfrac{1}{2}$，
故$2\alpha =\dfrac{\pi }{2}$或$\dfrac{3\pi }{2}$，解得$\alpha =\dfrac{\pi }{4}$或$\dfrac{3\pi }{4}$，
由于$l$与$x$轴，$y$轴正半轴，所以直线$l$的倾斜角$\alpha \in (\dfrac{\pi }{2}$，$\pi )$，
故$\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$．
（2）由（1）可知$\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$，$l$斜率为$-1$，且过$(2,1)$，
所以直线$l$方程为$y-1=-(x-2)$，即$x+y=3$，
因为$x=\rho \cos \alpha$，$y=\rho \sin \alpha$，
所以直线$l$极坐标方程为$\rho \cos \alpha +\rho \sin \alpha =3$．
点评：本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
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