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2023年高考数学甲卷-理23

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[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知

$f(x)=2\vert x-a\vert -a$ ，

$a > 0$ ．
（1）解不等式

$f(x) < x$ ；
（2）若曲线

$y=f(x)$ 与

$x$ 轴所围成的面积为2，求

$a$ ．
答案：（1）解集为

$(\dfrac{a}{3}$ ，

$3a)$ ，其中

$a > 0$ ；（2）

$a=2$ ．
分析：（1）根据绝对值不等式的解法，化归转化，即可求解；
（2）根据题意可知

$f(x)$ 的对称轴为

$x=a$ ，最低点坐标为

$(a,-a)$ ，再求出

$f(x)$ 的零点，再根据题意建立方程，即可求解．
解：（1）

$\because f(x)=2\vert x-a\vert -a$ ，

$a > 0$ ，

$\therefore f(x) < x$ 可化为：

$2\vert x-a\vert -a < x$ ，

$\therefore 2\vert x-a\vert < x+a$ ，

$\therefore -(x+a) < 2(x-a) < x+a$ ，

$\therefore$

$\left\{\begin{array}{l}{3x > a}\\ {x < 3a}\end{array}\right.$ ，又

$a > 0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{a}{3} < x < 3a$ ，

$\therefore$ 原不等式的解集为

$(\dfrac{a}{3}$ ，

$3a)$ ，其中

$a > 0$ ；
（2）

$\because f(x)=2\vert x-a\vert -a=\left\{\begin{array}{l}{2x-3a,x\geqslant a}\\ {a-2x,x < a}\end{array}\right.$ ，

$a > 0$ ，

$\therefore f(x)$ 的对称轴为

$x=a$ ，且最低点的坐标为

$(a,-a)$
令

$f(x)=2\vert x-a\vert -a=0$ ，可得

$f(x)$ 的两零点分别为

$x=\dfrac{a}{2}$ 和

$x=\dfrac{3a}{2}$ ，
函数图象大致如下：

$\therefore$ 曲线

$y=f(x)$ 与

$x$ 轴所围成的面积为

$\dfrac{1}{2}\times (\dfrac{3a}{2}-\dfrac{a}{2})\times a=2$ ，

$\therefore$ 解得

$a=2$ ．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．

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