2023年高考数学甲卷-理13

（5分）若

$y=(x-1)^{2}+ax+\sin (x+\dfrac{\pi }{2})$ 为偶函数，则

$a=$ ____．
答案：2．
分析：根据题意，由偶函数的定义可得

$f(-x)=x^{2}+2x-ax+1+\cos x=x^{2}-2x+ax+1+\cos x=f(x)$ ，变形分析可得答案．
解：根据题意，设

$f(x)=(x-1)^{2}+ax+\sin (x+\dfrac{\pi }{2})=x^{2}-2x+ax+1+\cos x$ ，
其定义域为

$R$ ，
若

$f(x)$ 为偶函数，则

$f(-x)=x^{2}+2x-ax+1+\cos x=x^{2}-2x+ax+1+\cos x=f(x)$ ，
变形可得

$(a-2)x=0$ ，必有

$a=2$ ．
故答案为：2．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题．

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