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2023年高考数学甲卷-理10<-->2023年高考数学甲卷-理12
（5分）在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为正方形，$AB=4$，$PC=PD=3$，$\angle PCA=45^\circ$，则$\Delta PBC$的面积为$($ $)$
A．$2\sqrt{2}$ B．$3\sqrt{2}$ C．$4\sqrt{2}$ D．$5\sqrt{2}$
答案：$C$
分析：解法一：先根据对称性易知$\angle PDB=\angle PCA=45^\circ$，再根据余弦定理求出$PB$，然后用余弦定理求$\Delta PBC$的一个角的余弦值，从而得该角的正弦值，最后代入三角形面积公式，即可得解．
解法二：设$P$在底面的射影为$H$，连接$HC$，设$\angle PCH=\theta$，$\angle ACH=\alpha$，且$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$，则$\angle HCD=45^\circ -\alpha$，或$\angle HCD=45^\circ +\alpha$，易知$\cos \angle PCD=\dfrac{2}{3}$，又$\angle PCA=45^\circ$，再根据最小角定理及三角形面积公式，即可求解．
解：解法一：$\because$四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为正方形，
又$PC=PD=3$，$\angle PCA=45^\circ$，
$\therefore$根据对称性易知$\angle PDB=\angle PCA=45^\circ$，
又底面正方形$ABCD$得边长为4，$\therefore BD=4\sqrt{2}$，
$\therefore$在$\Delta PBD$中，根据余弦定理可得：
$PB=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+{3}^{2}-2\times 4\sqrt{2}\times 3\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{17}$，
又$BC=4$，$PC=3$，$\therefore$在$\Delta PBC$中，由余弦定理可得：
$\cos \angle PCB=\dfrac{16+9-17}{2\times 4\times 3}=\dfrac{1}{3}$，$\therefore \sin \angle PCB=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，
$\therefore \Delta PBC$的面积为$\dfrac{1}{2}\times BC\times PC\times \sin \angle PCB=\dfrac{1}{2}\times 4\times 3\times \dfrac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$．
解法二：如图，设$P$在底面的射影为$H$，连接$HC$，
设$\angle PCH=\theta$，$\angle ACH=\alpha$，且$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$，
则$\angle HCD=45^\circ -\alpha$，或$\angle HCD=45^\circ +\alpha$，
易知$\cos \angle PCD=\dfrac{2}{3}$，又$\angle PCA=45^\circ$，
则根据最小角定理（三余弦定理）可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\cos \angle PCA=\cos \theta \cos \alpha }\\ {\cos \angle PCD=\cos \theta \cos \angle HCD}\end{array}\right.$，
$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \theta \cos \alpha }\\ {\dfrac{2}{3}=\cos \theta \cos (45^\circ -\alpha )}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \theta \cos \alpha }\\ {\dfrac{2}{3}=\cos \theta \cos (45^\circ +\alpha )}\end{array}\right.$，
$\therefore$$\dfrac{\cos (45^\circ -\alpha )}{\cos \alpha }=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$或$\dfrac{\cos (45^\circ +\alpha )}{\cos \alpha }=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，
$\therefore$$\dfrac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{4}{3}$或$\dfrac{\cos \alpha -\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{4}{3}$，
$\therefore \tan \alpha =\dfrac{1}{3}$或$\tan \alpha =-\dfrac{1}{3}$，又$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$，
$\therefore \tan \alpha =\dfrac{1}{3}$，$\therefore \cos \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{10}}$，$\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{10}}$，
$\therefore$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos \theta$，$\therefore \cos \theta =\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，
再根据最小角定理可得：
$\cos \angle PCB=\cos \theta \cos (45^\circ +\alpha )=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\dfrac{3}{\sqrt{10}}-\dfrac{1}{\sqrt{10}})=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore \sin \angle PCB=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，又$BC=4$，$PC=3$，
$\therefore \Delta PBC$的面积为$\dfrac{1}{2}\times BC\times PC\times \sin \angle PCB=\dfrac{1}{2}\times 4\times 3\times \dfrac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$．
故选：$C$．
点评：本题考查三角形面积的求解，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，最小角定理的应用，化归转化思想，属中档题．
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