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2023年高考数学甲卷-理18<-->2023年高考数学甲卷-理20
（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：$g)$．
（1）设$X$表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求$X$的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
$(i)$求40只小白鼠体重的增加量的中位数$m$，再分别统计两样本中小于$m$与不小于$m$的数据的个数，完成如下列联表：
| |
$ < m$ |
$\geqslant m$ |
| 对照组 |
|
|
| 实验组 |
|
|
$(ii)$根据$(i)$中的列联表，能否有$95%$的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：$K^{2}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^2}}{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}$，
| $P(K^{2}\geqslant k)$ |
0.100 |
0.050 |
0.010 |
| $k$ |
2.706 |
3.841 |
6.635 |
答案：（1）分布列见解答；期望为1；（2）$(i)m=23.4$；列联表见解答；$(ii)$能有$95%$的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
分析：（1）根据组合数公式及古典概型的概率公式，分布列的概念及期望的定义，即可求解；
（2）$(i)$根据中位数的概念，即可求解；$(ii)$根据独立性检验原理，即可求解．
解：（1）根据题意可得$X=0$，1，2，
又$P(X=0)=\dfrac{{C}_{20}^{0}{C}_{20}^{2}}{{C}_{40}^{2}}=\dfrac{19}{78}$，
$P(X=1)=\dfrac{{C}_{20}^{1}{C}_{20}^{1}}{{C}_{40}^{2}}=\dfrac{20}{39}$，
$P(X=2)=\dfrac{{C}_{20}^{2}{C}_{20}^{0}}{{C}_{40}^{2}}=\dfrac{19}{78}$，
$\therefore X$的分布列为：
| $X$ |
0 |
1 |
2 |
| $P$ |
$\dfrac{19}{78}$ |
$\dfrac{20}{39}$ |
$\dfrac{19}{78}$ |
$\therefore E(X)=0\times \dfrac{19}{78}+1\times \dfrac{20}{39}+2\times \dfrac{19}{78}=1$；
（2）$(i)40$个数据从小到大排列后，中位数$m$即为第20位和第21位数的平均数，
第20位数为23.2，第21位数为23.6，
$\therefore m=\dfrac{23.2+23.6}{2}=23.4$，
$\therefore$补全列联表为：
| |
$ < m$ |
$\geqslant m$ |
合计 |
| 对照组 |
6 |
14 |
20 |
| 实验组 |
14 |
6 |
20 |
| 合计 |
20 |
20 |
40 |
$(ii)$由$(i)$可知${K}^{2}=\dfrac{40\times (6\times 6-14\times 14)^{2}}{20\times 20\times 20\times 20}=6.400 > 3.841$，
$\therefore$能有$95%$的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，中位数的求解，独立性检验原理的应用，化归转化思想，属中档题．
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