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2023年高考数学甲卷-理16<-->2023年高考数学甲卷-理18
（12分）已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{2}=1$，设$S_{n}$为$\{a_{n}\}$前$n$项和，$2S_{n}=na_{n}$．
（1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）求数列$\{\dfrac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}\}$的前$n$项和$T_{n}$．
答案：（1）$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n-1$；
（2）$T_{n}=2-\dfrac{n+2}{{2}^{n}}$．
分析：（1）求得$a_{1}=0$，进而可得当$n\geqslant 3$时，可得$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\dfrac{n-1}{n-2}$，由累乘法可求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）$\dfrac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}=\dfrac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法可求数列$\{\dfrac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}\}$的前$n$项和$T_{n}$．
解：（1）当$n=1$时，$2S_{1}=a_{1}$，解得$a_{1}=0$，
当$n\geqslant 2$时，$2S_{n-1}=(n-1)a_{n-1}$，
$\therefore 2a_{n}=na_{n}-(n-1)a_{n-1}$，$\therefore (n-1)a_{n-1}=(n-2)a_{n}$，
当$n\geqslant 3$时，可得$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\dfrac{n-1}{n-2}$，
$\therefore a_{n}=\dfrac{2}{1}\times \dfrac{3}{2}\times \dfrac{4}{3}\times \dotsb \times \dfrac{n-1}{n-2}\times a_{2}=n-1$，
当$n=2$或$n=1$时，$a_{1}=0$，$a_{2}=1$适合上式，
$\therefore \{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n-1$；
（2）由（1）可得$\dfrac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}=\dfrac{n}{{2}^{n}}$，
$\therefore T_{n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{{2}^{2}}+\dfrac{3}{{2}^{3}}+\dotsb +\dfrac{n}{{2}^{n}}$，$\therefore$$\dfrac{1}{2}T_{n}=\dfrac{1}{{2}^{2}}+\dfrac{2}{{2}^{3}}+\dfrac{3}{{2}^{4}}+\dotsb +\dfrac{n}{{2}^{n+1}}$，
$\therefore$$\dfrac{1}{2}T_{n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{{2}^{2}}+\dfrac{1}{{2}^{3}}+\dotsb +\dfrac{1}{{2}^{n}}-\dfrac{n}{{2}^{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{{2}^{n}})}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{n}{{2}^{n+1}}=1-\dfrac{1}{{2}^{n}}-\dfrac{n}{{2}^{n+1}}$，
$\therefore T_{n}=2-\dfrac{n+2}{{2}^{n}}$．
点评：本题考查求数列的通项公式，考查数列的前$n$项的和的求法，属中档题．
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