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2023年高考数学甲卷-理19<-->2023年高考数学甲卷-理21
（12分）设抛物线$C:y^{2}=2px(p > 0)$，直线$x-2y+1=0$与$C$交于$A$，$B$两点，且$\vert AB\vert =4\sqrt{15}$．
（1）求$p$的值；
（2）$F$为$y^{2}=2px$的焦点，$M$，$N$为抛物线上的两点，且$\overrightarrow{MF}\cdot \overrightarrow{NF}=0$，求$\Delta MNF$面积的最小值．
答案：（1）$p=2$；
（2）$12-8\sqrt{2}$．
分析：（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出$p$；
（2）设直线$MN:x=my+n$，$M(x_{1}$，$y_{1})$，$N(x_{2}$，$y_{2})$，利用$\overrightarrow{MF}\cdot \overrightarrow{NF}=0$，找到$m$，$n$的关系，以及$\Delta MNF$的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
解：设$A(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1=0}\\ {{y}^{2}=2px(p > 0)}\end{array}\right.$，
消去$x$得：$y^{2}-4py+2p=0$，
$\therefore y_{1}+y_{2}=4p$，$y_{1}y_{2}=2p$，△$=16p^{2}-8p > 0$，
$\therefore p(2p-1) > 0$，$\therefore p > \dfrac{1}{2}$，
$\vert AB\vert =\sqrt{1+4}\vert y_{1}-y_{2}\vert =\sqrt{5}\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=4\sqrt{15}$，
$\therefore 16p^{2}-8p=48$，$\therefore 2p^{2}-p-6=0$，$\therefore (2p+3)(p-2)=0$，
$\therefore p=2$；
（2）由（1）知$y^{2}=4x$，所以$F(1,0)$，显然直线$MN$的斜率不可能为零，
设直线$MN:x=my+n$，$M(x_{1}$，$y_{1})$，$N(x_{2}$，$y_{2})$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\ {x=my+n}\end{array}\right.$，可得$y^{2}-4my-4n=0$，所以$y_{1}+y_{2}=4m$，$y_{1}y_{2}=-4n$，
△$=16m^{2}+16n > 0\rightarrow m^{2}+n > 0$，
因为$\overrightarrow{MF}\cdot \overrightarrow{NF}=0$，所以$(x_{1}-1)(x_{2}-1)+y_{1}y_{2}=0$，
即$(my_{1}+n-1)(my_{2}+n-1)+y_{1}y_{2}=0$，即$(m^2+1)y_1y_2+m(n-1)(y_1+y_2)+(n-1)^2=0$，
将$y_{1}+y_{2}=4m$，$y_{2}=-4n$，代入得$4m^{2}=n^{2}-6n+1$，
$\therefore 4(m^{2}+n)=(n-1)^{2} > 0$，所以$n\ne 1$，且$n^{2}-6n+1\geqslant 0$，解得$n\geqslant 3+2\sqrt{2}$或$n\leqslant 3-2\sqrt{2}$．
设点$F$到直线$MN$的距离为$d$，所以$d=\dfrac{\vert n-1\vert }{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
$\vert MN\vert =\sqrt{1+{m}^{2}}\vert y_{1}-y_{2}\vert =\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{16{m}^{2}+16n}$
$=\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{4({n}^{2}-6n+1)+16n}=2\sqrt{1+{m}^{2}}\vert n-1\vert$，
所以$\Delta MNF$的面积$S=\dfrac{1}{2}\vert MN\vert \times d=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\vert n-1\vert }{\sqrt{{m}^{2}+1}}\times 2\sqrt{1+{m}^{2}}\vert n-1\vert$，
又$n\geqslant 3+2\sqrt{2}$或$n\leqslant 3-2\sqrt{2}$，所以当$n=3-2\sqrt{2}$时，$\Delta MNF$的面积$S_{min}=(2-2\sqrt{2})^{2}=12-8\sqrt{2}$．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的应用，考查三角形的问题的最值问题，考查方程思想，属难题．
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