2023年高考数学甲卷-理14

（5分）设

$x$ ，

$y$ 满足约束条件

$\left\{\begin{array}{l}-2x+3y\leqslant 3\\ 3x-2y\leqslant 3\\ x+y\geqslant 1\end{array}\right.$ ，设

$z=3x+2y$ ，则

$z$ 的最大值为 ____．
答案：15．
分析：画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定出目标函数的最优解，代入，即可求解．
解：由题意，作出

$x$ ，

$y$ 满足约束条件

$\left\{\begin{array}{l}-2x+3y\leqslant 3\\ 3x-2y\leqslant 3\\ x+y\geqslant 1\end{array}\right.$ 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

目标函数

$z=3x+2y$ ，可化为直线

$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{z}{2}$ ，
由

$\left\{\begin{array}{l}{-2x+3y=3}\\ {3x-2y=3}\end{array}\right.$ ，可得

$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\ {y=3}\end{array}\right.$ ，
即

$A(3,3)$ ，
当直线

$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{z}{2}$ 过点

$A$ 时，直线在

$y$ 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
代入可得

$z_{max}=3\times 3+2\times 3=15$ ．
故答案为：15．
点评：本题考查了简单的线性规划，属于基础题．

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