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2023年高考数学甲卷-理7<-->2023年高考数学甲卷-理9
（5分）已知双曲线$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的离心率为$\sqrt{5}$，其中一条渐近线与圆$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$交于$A$，$B$两点，则$\vert AB\vert =($ $)$
A．$\dfrac{1}{5}$ B．$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ C．$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ D．$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
答案：$D$
分析：利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解$\vert AB\vert$即可．
解：双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$的离心率为$\sqrt{5}$，
可得$c=\sqrt{5}a$，所以$b=2a$，
所以双曲线的渐近线方程为：$y=\pm 2x$，
一条渐近线与圆$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$交于$A$，$B$两点，圆的圆心$(2,3)$，半径为1，
圆的圆心到直线$y=2x$的距离为：$\dfrac{\vert 4-3\vert }{\sqrt{1+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$，
所以$\vert AB\vert =2\sqrt{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$．
故选：$D$．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
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