2021年新高考2

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2021年高考数学新高考Ⅱ-1复数

$\frac{2-i}{1-3i}$ 在复平面内对应点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-2若全集

$U=\{1$ ，2，3，4，5，

$6\}$ ，集合

$A=\{1$ ，3，

$6\}$ ，

$B=\{2$ ，3，

$4\}$ ，则

$A\bigcap \complement _{U}B=$ (　　)
A．

$\{3\}$ B．

$\{1$ ，

$6\}$ C．

$\{5$ ，

$6\}$ D．

$\{1$ ，

$3\}$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-3若抛物线

$y^{2}=2px(p>0)$ 的焦点到直线

$y=x+1$ 的距离为

$\sqrt{2}$ ，则

$p=($ 　　

$)$
A．1 B．2 C．

$2\sqrt{2}$ D．4【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-4（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为

$36000km$ （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为

$O$ ，半径

$r$ 为

$6400km$ 的球，其上点

$A$ 的纬度是指

$OA$ 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为

$\alpha$ ，该卫星信号覆盖地球表面的表面积

$S=2\pi r^{2}(1-\cos \alpha )$ （单位：

$km^{2})$ ，则

$S$ 占地球表面积的百分比约为(　　)
A．

$26%$ B．

$34%$ C．

$42%$ D．

$50%$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-5正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A．

$20+12\sqrt{3}$
B．

$28\sqrt{2}$
C．

$\dfrac{56}{3}$
D．

$\dfrac{28\sqrt{2}}{3}$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-6某物理量的测量结果服从正态分布

$N(10,\sigma ^{2})$ ，则下列结论中不正确的是(　　)
A．

$\sigma$ 越小，该物理量在一次测量中落在

$(9.9,10.1)$ 内的概率越大
B．

$\sigma$ 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．

$\sigma$ 越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等
D．

$\sigma$ 越小，该物理量在一次测量中结果落在$(9【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-7已知

$a=\log _{5}2$ ，

$b=\log _{8}3$ ，

$c=\dfrac{1}{2}$ ，则下列判断正确的是(　　)
A．

$c < b < a$ B．

$b < a < c$ C．

$a < c < b$ D．

$a < b < c$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-8已知函数

$f(x)$ 的定义域为

$R$ ，

$f(x+2)$ 为偶函数，

$f(2x+1)$ 为奇函数，则(　　)
A．

$f(-\dfrac{1}{2})=0$
B．

$f(-1)=0$
C．

$f（2）=0$
D．

$f（4）=0$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-9下列统计量中，能度量样本

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$x_{n}$ 的离散程度的有(　　)
A．样本

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$x_{n}$ 的标准差 B．样本

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$x_{n}$ 的中位数
C．样本

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$x_{n}$ 的极差 D．样本

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ ，

$\ldots$ ，$【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-10（5分）如图，下列正方体中，

$O$ 为底面的中点，

$P$ 为所在棱的中点，

$M$ ，

$N$ 为正方体的顶点，则满足

$MN\bot OP$ 的是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-11已知直线

$l:ax+by-r^{2}=0$ 与圆

$C:x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，点

$A(a,b)$ ，则下列说法正确的是(　　)
A．若点

$A$ 在圆

$C$ 上，则直线

$l$ 与圆

$C$ 相切
B．若点

$A$ 在圆

$C$ 内，则直线

$l$ 与圆

$C$ 相离
C．若点

$A$ 在圆

$C$ 外，则直线

$l$ 与圆

$C$ 相离
D．若点

$A$ 在直线

$l$ 上，则直线

$l$ 与圆

$C$ 相切【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-12（5分）设正整数

$n=a_{0}\cdot 2^{0}+a_{1}\cdot 2^{1}+\ldots +a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_{k}\cdot 2^{k}$ ，其中

$a_{i}\in \{0$ ，

$1\}$ ，记

$\omega (n)=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{k}$ ，则(　　)
A．

$\omega (2n)=\omega (n)$
B．

$\omega (2n+3)=\omega (n)+1$
C．

$\omega (8n+5)=\omega (4n+3)$
D．

$\omega (2^{n}-1)=n$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-13已知双曲线

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的离心率

$e=2$ ，则该双曲线的渐近线方程为____【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-14写出一个同时具有下列性质①②③的函数

$f(x):$ 　______．
①

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ ；②当

$x\in (0,+\infty )$ 时，

$f\prime (x)>0$ ；③

$f\prime (x)$ 是奇函数．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-15（5分）已知向量

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ ，

$\vert \overrightarrow{a}\vert =1$ ，

$\vert \overrightarrow{b}\vert =\vert \overrightarrow{c}\vert =2$ ，则

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=$ ______．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-16已知函数

$f(x)=\vert e^{x}-1\vert$ ，

$x_{1}<0$ ，

$x_{2}>0$ ，函数

$f(x)$ 的图象在点

$A(x_{1}$ ，

$f(x_{1}))$ 和点

$B(x_{2}$ ，

$f(x_{2}))$ 的两条切线互相垂直，且分别交

$y$ 轴于

$M$ ，

$N$ 两点，则

$\dfrac{\vert AM\vert }{\vert BN\vert }$ 的取值范围是______．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-17（10分）记

$S_{n}$ 是公差不为0的等差数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，若

$a_{3}=S_{5}$ ，

$a_{2}a_{4}=S_{4}$ ．
（Ⅰ）求数列

$\{a_{n}\}$ 的通项公式

$a_{n}$ ；
（Ⅱ）求使

$S_{n}>a_{n}$ 成立的

$n$ 的最小值．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-18在

$\Delta ABC$ 中，角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 所对的边长为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，

$b=a+1$ ，

$c=a+2$ ．
（Ⅰ）若

$2\sin C=3\sin A$ ，求

$\Delta ABC$ 的面积；
（Ⅱ）是否存在正整数

$a$ ，使得

$\Delta ABC$ 为钝角三角形？若存在，求出

$a$ 的值；若不存在，说明理由．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-19（12分）在四棱锥

$Q-ABCD$ 中，底面

$ABCD$ 是正方形，若

$AD=2$ ，

$QD=QA=\sqrt{5}$ ，

$QC=3$ ．
（Ⅰ）求证：平面

$QAD\bot$ 平面

$ABCD$ ；
（Ⅱ）求二面角

$B-QD-A$ 的平面角的余弦值．

【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-20（12分）已知椭圆

$C$ 的方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ ，右焦点为

$F(\sqrt{2}$ ，

$0)$ ，且离心率为

$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆

$C$ 的方程；
（Ⅱ）设

$M$ ，

$N$ 是椭圆

$C$ 上的两点，直线

$MN$ 与曲线

$x^{2}+y^{2}=b^{2}(x>0)$ 相切．证明：

$M$ ，

$N$ ，

$F$ 三点共线的充要条件是

$\vert MN\vert =\sqrt{3}$ ．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-21（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，

$\ldots \ldots$ ，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设

$X$ 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

$P(X=i)=p_{i}(i=0$ ，1，2，

$3)$ ．
（Ⅰ）已知

$p_{0}=0.4$ ，

$p_{1}=0.3$ ，

$p_{2}=0.2$ ，

$p_{3}=0.1$ ，求

$E(X)$ ；
（Ⅱ）设

$p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，

$p$ 是关于

$x$ 的方程：

$p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x$ 的一个最小正实根，求证：当

$E(X)\leqslant 1$ 时，

$p=1$ ，当

$E(X)>1$ 时，

$p<1$ ；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅱ-22（12分）已知函数

$f(x)=(x-1)e^{x}-ax^{2}+b$ ．
（Ⅰ）讨论

$f(x)$ 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：

$f(x)$ 恰有一个零点．
①

$\dfrac{1}{2} < a\leqslant \dfrac{{e}^{2}}{2}$ ，

$b > 2a$ ；
②

$0< a <\dfrac{1}{2}$ ，

$b\leqslant 2a$ ．【答案详解】

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