2021年高考数学新高考Ⅱ-17

17．（10分）记

$S_{n}$ 是公差不为0的等差数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，若

$a_{3}=S_{5}$ ，

$a_{2}a_{4}=S_{4}$ ．
（Ⅰ）求数列

$\{a_{n}\}$ 的通项公式

$a_{n}$ ；
（Ⅱ）求使

$S_{n}>a_{n}$ 成立的

$n$ 的最小值．
分析：（Ⅰ）直接利用等差数列的性质和前

$n$ 项和的应用求出数列的通项公式；
（Ⅱ）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果．
解：（Ⅰ）数列

$S_{n}$ 是公差

$d$ 不为0的等差数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，若

$a_{3}=S_{5}$ ，

$a_{2}a_{4}=S_{4}$ ．
根据等差数列的性质，

$a_{3}=S_{5}=5a_{3}$ ，故

$a_{3}=0$ ，
根据

$a_{2}a_{4}=S_{4}$ 可得

$(a_{3}-d)(a_{3}+d)=(a_{3}-2d)+(a_{3}-d)+a_{3}+(a_{3}+d)$ ，
整理得

$-d^{2}=-2d$ ，可得

$d=2(d=0$ 不合题意），
故

$a_{n}=a_{3}+(n-3)d=2n-6$ ．
（Ⅱ）

$a_{n}=2n-6$ ，

$a_{1}=-4$ ，

$S_{n}=-4n+\dfrac{n(n-1)}{2}\times 2=n^{2}-5n$ ，

$S_{n}>a_{n}$ ，即

$n^{2}-5n>2n-6$ ，
整理可得

$n^{2}-7n+6>0$ ，
当

$n>6$ 或

$n<1$ 时，

$S_{n}>a_{n}$ 成立，故

$n$ 的最小正值为7．
点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

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