|
2021年高考数学新高考Ⅱ-16<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-18
17．（10分）记$S_{n}$是公差不为0的等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，若$a_{3}=S_{5}$，$a_{2}a_{4}=S_{4}$．
（Ⅰ）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$；
（Ⅱ）求使$S_{n}>a_{n}$成立的$n$的最小值．
分析：（Ⅰ）直接利用等差数列的性质和前$n$项和的应用求出数列的通项公式；
（Ⅱ）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果．
解：（Ⅰ）数列$S_{n}$是公差$d$不为0的等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，若$a_{3}=S_{5}$，$a_{2}a_{4}=S_{4}$．
根据等差数列的性质，$a_{3}=S_{5}=5a_{3}$，故$a_{3}=0$，
根据$a_{2}a_{4}=S_{4}$可得$(a_{3}-d)(a_{3}+d)=(a_{3}-2d)+(a_{3}-d)+a_{3}+(a_{3}+d)$，
整理得$-d^{2}=-2d$，可得$d=2(d=0$不合题意），
故$a_{n}=a_{3}+(n-3)d=2n-6$．
（Ⅱ）$a_{n}=2n-6$，$a_{1}=-4$，
$S_{n}=-4n+\dfrac{n(n-1)}{2}\times 2=n^{2}-5n$，
$S_{n}>a_{n}$，即$n^{2}-5n>2n-6$，
整理可得$n^{2}-7n+6>0$，
当$n>6$或$n<1$时，$S_{n}>a_{n}$成立，故$n$的最小正值为7．
点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2021年高考数学新高考Ⅱ-16<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-18
全网搜索"2021年高考数学新高考Ⅱ-17"相关
|
