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2021年高考数学新高考Ⅱ-11

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11．（5分）已知直线

$l:ax+by-r^{2}=0$ 与圆

$C:x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，点

$A(a,b)$ ，则下列说法正确的是

$($ 　　

$)$
A．若点

$A$ 在圆

$C$ 上，则直线

$l$ 与圆

$C$ 相切
B．若点

$A$ 在圆

$C$ 内，则直线

$l$ 与圆

$C$ 相离
C．若点

$A$ 在圆

$C$ 外，则直线

$l$ 与圆

$C$ 相离
D．若点

$A$ 在直线

$l$ 上，则直线

$l$ 与圆

$C$ 相切
分析：根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可．
解：

$\because$ 点

$A$ 在圆

$C$ 上，

$\therefore a^{2}+b^{2}=r^{2}$ ，

$\because$ 圆心

$C(0,0)$ 到直线

$l$ 的距离为

$d=\dfrac{\vert 0\times a+0\times b-{r}^{2}\vert }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\dfrac{\vert {r}^{2}\vert }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=r$ ，

$\therefore$ 直线与圆

$C$ 相切，故

$A$ 选项正确，

$\because$ 点

$A$ 在圆

$C$ 内，

$\therefore a^{2}+b^{2}<r^{2}$ ，

$\because$ 圆心

$C(0,0)$ 到直线

$l$ 的距离为

$d=\dfrac{\vert 0\times a+0\times b-{r}^{2}\vert }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\dfrac{\vert {r}^{2}\vert }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}>r$ ，

$\therefore$ 直线与圆

$C$ 相离，故

$B$ 选项正确，

$\because$ 点

$A$ 在圆

$C$ 外，

$\therefore a^{2}+b^{2}>r^{2}$ ，

$\because$ 圆心

$C(0,0)$ 到直线

$l$ 的距离为

$d=\dfrac{\vert 0\times a+0\times b-{r}^{2}\vert }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\dfrac{\vert {r}^{2}\vert }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}<r$ ，

$\therefore$ 直线与圆

$C$ 相交，故

$C$ 选项错误，

$\because$ 点

$A$ 在直线

$l$ 上，

$\therefore a^{2}+b^{2}=r^{2}$ ，

$\because$ 圆心

$C(0,0)$ 到直线

$l$ 的距离为

$d=\dfrac{\vert 0\times a+0\times b-{r}^{2}\vert }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\dfrac{\vert {r}^{2}\vert }{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=r$ ，

$\therefore$ 直线与圆

$C$ 相切，故

$D$ 选项正确．
故选：

$ABD$ ．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

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