2021年高考数学新高考Ⅱ-13

13．（5分）已知双曲线

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的离心率

$e=2$ ，则该双曲线的渐近线方程为______．
分析：根据双曲线离心率为2，列出关于

$a$ 、

$b$ 的方程，解之得

$b=\sqrt{3}a$ ，由双曲线渐近方程的公式可得到该双曲线的渐近线方程．
解：

$\because$ 双曲线的方程是

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)$ ，

$\therefore$ 双曲线渐近线为

$y=\pm \dfrac{b}{a}x$
又

$\because$ 离心率为

$e=\dfrac{c}{a}=2$ ，可得

$c=2a$

$\therefore c^{2}=4a^{2}$ ，即

$a^{2}+b^{2}=4a^{2}$ ，可得

$b=\sqrt{3}a$
由此可得双曲线渐近线为

$y=\pm\sqrt{3}x$
故答案为：

$y=\pm \sqrt{3}x$
点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求它的渐近线，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

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