|
2021年高考数学新高考Ⅱ-4<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-6
5．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为$($ $)$
A．$20+12\sqrt{3}$ B．$28\sqrt{2}$ C．$\dfrac{56}{3}$ D．$\dfrac{28\sqrt{2}}{3}$
分析：过$A$作$AE\bot A_{1}B_{1}$，得$A_{1}E=\dfrac{4-2}{2}=1$，$AE=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}=\sqrt{3}$．连接$AC$，$A_{1}C_{1}$，过$A$作$AG\bot A_{1}C_{1}$，求出$A_{1}G=\sqrt{2}$，从而$AG=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{G}^{2}}=\sqrt{2}$，由此能求出正四棱台的体积．
解：如图$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$为正四棱台，$AB=2$，$A_{1}B_{1}=4$，$AA_{1}=2$．
在等腰梯形$A_{1}B_{1}BA$中，过$A$作$AE\bot A_{1}B_{1}$，可得$A_{1}E=\dfrac{4-2}{2}=1$，
$AE=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$．
连接$AC$，$A_{1}C_{1}$，
$AC=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，$A_{1}C_{1}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$，
过$A$作$AG\bot A_{1}C_{1}$，$A_{1}G=\dfrac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
$AG=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{G}^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，
$\therefore$正四棱台的体积为：
$V=\dfrac{{{S}_{+{{S}_{}}}}+\sqrt{{{S}_{}}\cdot {{S}_{}}}}{3}\times h$
$=\dfrac{{2}^{2}+{4}^{2}+\sqrt{{2}^{2}\times {4}^{2}}}{3}\times \sqrt{2}$
$=\dfrac{28\sqrt{2}}{3}$．
故选：$D$．
点评：本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
2021年高考数学新高考Ⅱ-4<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-6
全网搜索"2021年高考数学新高考Ⅱ-5"相关
|
