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2021年高考数学新高考Ⅱ-14<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-16
15．（5分）已知向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，$\vert \overrightarrow{a}\vert =1$，$\vert \overrightarrow{b}\vert =\vert \overrightarrow{c}\vert =2$，则$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=$______．
分析：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$或$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{b}$或$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}$，三等式两边平方可解决此题．
解：由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$或$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{b}$或$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}$，
$\therefore (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}=(-\overrightarrow{c})^{2}$或$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})^{2}=(-\overrightarrow{b})^{2}$或$(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^{2}=(-\overrightarrow{a})^{2}$，
又$\because \vert \overrightarrow{a}\vert =1$，$\vert \overrightarrow{b}\vert =\vert \overrightarrow{c}\vert =2$，$\therefore 5+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=4$，$5+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=4$，$8+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=1$，
$\therefore$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\dfrac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=-\dfrac{1}{2}$，$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-\dfrac{7}{2}$，$\therefore$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-\dfrac{9}{2}$．
故答案为：$-\dfrac{9}{2}$．
点评：本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．
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