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2021年高考数学新高考Ⅱ-21

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21．（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，

$\ldots \ldots$ ，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设

$X$ 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

$P(X=i)=p_{i}(i=0$ ，1，2，

$3)$ ．
（Ⅰ）已知

$p_{0}=0.4$ ，

$p_{1}=0.3$ ，

$p_{2}=0.2$ ，

$p_{3}=0.1$ ，求

$E(X)$ ；
（Ⅱ）设

$p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，

$p$ 是关于

$x$ 的方程：

$p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x$ 的一个最小正实根，求证：当

$E(X)\leqslant 1$ 时，

$p=1$ ，当

$E(X)>1$ 时，

$p<1$ ；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
分析：（Ⅰ）利用数学期望的计算公式求解即可；
（Ⅱ）对

$p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x$ 进行等量代换，然后再进行因式分解，构造函数

$f(x)$ ，由二次函数的性质分析证明即可；
（Ⅲ）由题中

$p$ 的含义，分析

$p=1$ 和

$p<1$ 的含义即可．
（Ⅰ）解：由题意，

$P_{0}=0.4$ ，

$P_{1}=0.3$ ，

$P_{2}=0.2$ ，

$P_{3}=0.1$ ，
故

$E(X)=0\times 0.4+1\times 0.3+2\times 0.2+3\times 0.1=1$ ；
（Ⅱ）证明：由题意可知，

$p_{0}+p_{1}+p_{2}+p_{3}=1$ ，则

$E(X)=p_{1}+2p_{2}+3p_{3}$ ，
所以

$p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x$ ，变形为

$p_{0}-(1-p_{1})x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=0$ ，
所以

$p_{0}+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}-(p_{0}+p_{2}+p_{3})x=0$ ，
即

$p_{0}(1-x)+p_{2}x(x-1)+p_{3}x(x-1)(x+1)=0$ ，
即

$(x-1)[p_{3}x^{2}+(p_{2}+p_{3})x-p_{0}]=0$ ，
令

$f(x)=p_{3}x^{2}+(p_{2}+p_{3})x-p_{0}$ ，
则

$f(x)$ 的对称轴为

$x=-\dfrac{{p}_{2}+{p}_{3}}{2{p}_{3}}<0$ ，
注意到

$f(0)=-p_{0}\leqslant 0$ ，

$f$ （1）

$=2p_{3}+p_{2}-p_{0}=p_{1}+2p_{2}+3p_{3}-1=E(X)-1$ ，
当

$E(X)\leqslant 1$ 时，

$f$ （1）

$\leqslant 0$ ，

$f(x)=0$ 的正实根

$x_{0}\geqslant 1$ ，原方程的最小正实根

$p=1$ ，
当

$E(X)>1$ 时，

$f$ （1）

$>0$ ，

$f(0)<0$ ，所以

$f(x)=0$ 的正实根

$0<x_{0}<1$ ，原方程的最小正实根

$p=x_{0}<1$ ；
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
点评：本题考查了样本估计总体的应用，事件概率的理解和应用，数学期望公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．

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