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2021年高考数学新高考Ⅱ-20<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-22
21．（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，$\ldots \ldots$，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设$X$表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_{i}(i=0$，1，2，$3)$．
（Ⅰ）已知$p_{0}=0.4$，$p_{1}=0.3$，$p_{2}=0.2$，$p_{3}=0.1$，求$E(X)$；
（Ⅱ）设$p$表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$是关于$x$的方程：$p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x$的一个最小正实根，求证：当$E(X)\leqslant 1$时，$p=1$，当$E(X)>1$时，$p<1$；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
分析：（Ⅰ）利用数学期望的计算公式求解即可；
（Ⅱ）对$p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x$进行等量代换，然后再进行因式分解，构造函数$f(x)$，由二次函数的性质分析证明即可；
（Ⅲ）由题中$p$的含义，分析$p=1$和$p<1$的含义即可．
（Ⅰ）解：由题意，$P_{0}=0.4$，$P_{1}=0.3$，$P_{2}=0.2$，$P_{3}=0.1$，
故$E(X)=0\times 0.4+1\times 0.3+2\times 0.2+3\times 0.1=1$；
（Ⅱ）证明：由题意可知，$p_{0}+p_{1}+p_{2}+p_{3}=1$，则$E(X)=p_{1}+2p_{2}+3p_{3}$，
所以$p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x$，变形为$p_{0}-(1-p_{1})x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=0$，
所以$p_{0}+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}-(p_{0}+p_{2}+p_{3})x=0$，
即$p_{0}(1-x)+p_{2}x(x-1)+p_{3}x(x-1)(x+1)=0$，
即$(x-1)[p_{3}x^{2}+(p_{2}+p_{3})x-p_{0}]=0$，
令$f(x)=p_{3}x^{2}+(p_{2}+p_{3})x-p_{0}$，
则$f(x)$的对称轴为$x=-\dfrac{{p}_{2}+{p}_{3}}{2{p}_{3}}<0$，
注意到$f(0)=-p_{0}\leqslant 0$，$f$（1）$=2p_{3}+p_{2}-p_{0}=p_{1}+2p_{2}+3p_{3}-1=E(X)-1$，
当$E(X)\leqslant 1$时，$f$（1）$\leqslant 0$，$f(x)=0$的正实根$x_{0}\geqslant 1$，原方程的最小正实根$p=1$，
当$E(X)>1$时，$f$（1）$>0$，$f(0)<0$，所以$f(x)=0$的正实根$0<x_{0}<1$，原方程的最小正实根$p=x_{0}<1$；
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
点评：本题考查了样本估计总体的应用，事件概率的理解和应用，数学期望公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
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