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2021年高考数学新高考Ⅱ-12

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12．（5分）设正整数

$n=a_{0}\cdot 2^{0}+a_{1}\cdot 2^{1}+\ldots +a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_{k}\cdot 2^{k}$ ，其中

$a_{i}\in \{0$ ，

$1\}$ ，记

$\omega (n)=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{k}$ ，则(　　)
A．

$\omega (2n)=\omega (n)$
B．

$\omega (2n+3)=\omega (n)+1$
C．

$\omega (8n+5)=\omega (4n+3)$
D．

$\omega (2^{n}-1)=n$
分析：

$2n=a_{0}\cdot 2^{1}+a_{1}\cdot 2^{2}+\ldots +a_{k-1}\cdot 2^{k}+a_{k}\cdot 2^{k+1}$ 可判断

$A$ ；取

$n=2$ 可判断

$B$ ；
把

$8n+5$ 和

$4n+3$ 都化成

$n=a_{0}\cdot 2^{0}+a_{1}\cdot 2^{1}+\ldots +a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_{k}\cdot 2^{k}$ ，可判断

$C$ ；

$2^{n}-1=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+\cdot \cdot \cdot +1\cdot 2^{n-1}$ 可判断

$D$ ．
解：

$\because 2n=a_{0}\cdot 2^{1}+a_{1}\cdot 2^{2}+\ldots +a_{k-1}\cdot 2^{k}+a_{k}\cdot 2^{k+1}$ ，

$\therefore \omega (2n)=\omega (n)=a_{0}+a_{1}+\ldots +k$ ，

$\therefore A$ 对；
当

$n=2$ 时，

$2n+3=7=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}$ ，

$\therefore \omega$ （7）

$=3$ ．

$\because 2=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}$ ，

$\therefore \omega$ （2）

$=0+1=1$ ，

$\therefore \omega$ （7）

$\ne \omega$ （2）

$+1$ ，

$\therefore B$ 错；

$\because 8n+5=a_{0}\cdot 2^{3}+a_{1}\cdot 2^{4}+\cdot \cdot \cdot +a_{k}\cdot 2^{k+3}+5=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{2}+a_{0}\cdot 2^{3}+a_{1}\cdot 2^{4}+\cdot \cdot \cdot +a_{k}\cdot 2^{k+3}$ ，

$\therefore \omega (8n+5)=a_{0}\cdot +a_{1}\cdot +\cdot \cdot \cdot +a_{k}+2$ ．

$\because 4n+3=a_{0}\cdot 2^{2}+a_{1}\cdot 2^{3}+\cdot \cdot \cdot +a_{k}\cdot 2^{k+2}+3=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+a_{0}\cdot 2^{2}+a_{1}\cdot 2^{3}+\cdot \cdot \cdot +a_{k}\cdot 2^{k+2}$ ，

$\therefore \omega (4n+3)=a_{0}\cdot +a_{1}\cdot +\cdot \cdot \cdot +a_{k}+2=\omega (8n+5)$ ．

$\therefore C$ 对；

$\because 2^{n}-1=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+\cdot \cdot \cdot +1\cdot 2^{n-1}$ ，

$\therefore \omega (2^{n}-1)=n$ ，

$\therefore D$ 对．
故选：

$ACD$ ．
点评：本题考查数列递推式，考查数学运算能力，属于难题．

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