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2021年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-11
10．（5分）如图，下列正方体中，$O$为底面的中点，$P$为所在棱的中点，$M$，$N$为正方体的顶点，则满足$MN\bot OP$的是( )
A． B．
C． D．
分析：对于$A$，设正方体棱长为2，设$MN$与$OP$所成角为$\theta$，求出$\tan \theta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，从而不满足$MN\bot OP$；对于$B$，$C$，$D$，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，利用向量法进行判断．
解：对于$A$，设正方体棱长为2，设$MN$与$OP$所成角为$\theta$，
则$\tan \theta =\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sqrt{4+4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore$不满足$MN\bot OP$，故$A$错误；
对于$B$，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则$N(2$，0，$0)$，$M(0$，0，$2)$，$P(2$，0，$1)$，$O(1$，1，$0)$，
$\overrightarrow{MN}=(2$，0，$-2)$，$\overrightarrow{OP}=(1$，$-1$，$1)$，
$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OP}=0$，$\therefore$满足$MN\bot OP$，故$B$正确；
对于$C$，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则$M(2$，2，$2)$，$N(0$，2，$0)$，$O(1$，1，$0)$，$P(0$，0，$1)$，
$\overrightarrow{MN}=(-2$，0，$-2)$，$\overrightarrow{OP}=(-1$，$-1$，$1)$，
$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OP}=0$，$\therefore$满足$MN\bot OP$，故$C$正确；
对于$D$，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则$M(0$，2，$2)$，$N(0$，0，$0)$，$P(2$，1，$2)$，$O(1$，1，$0)$，
$\overrightarrow{MN}=(0$，$-2$，$-2)$，$\overrightarrow{OP}=(1$，0，$2)$，
$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OP}=-4$，$\therefore$不满足$MN\bot OP$，故$D$错误．
故选：$BC$．
点评：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系基础知识，考查数学运算、逻辑思维等核心素养，是中档题．
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