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2021年高考数学新高考Ⅱ-7<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-9
8．（5分）已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则( )
A．f(−12)=0 B．f(−1)=0 C．f（2）=0 D．f（4）=0
分析：根据f(x+2)为偶函数，可得f(x+4)=f(−x)，f(2x+1)为奇函数，可得f(−2x+1)=−f(2x+1)，即可判断选项．
解：由题意，f(x+2)为偶函数，可得f(x+4)=f(−x)，
f(2x+1)为奇函数，可得f(−2x+1)=−f(2x+1)，
令F(x)=f(2x+1)为奇函数，
可得F(0)=f（1）=0，
∴f(−1)=−f（3）=−f（1）=0，
即f(−x)=−f(x+2)，
∴f(x+4)=−f(x+2)，
易知f(x)的周期T=4，其他选项的值不一定等于0．
即f(−1)=0，
故选：B．
点评：本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．
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