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2021年高考数学新高考Ⅱ-7<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-9
8．（5分）已知函数$f(x)$的定义域为$R$，$f(x+2)$为偶函数，$f(2x+1)$为奇函数，则$($ $)$
A．$f(-\dfrac{1}{2})=0$ B．$f(-1)=0$ C．$f（2）=0$ D．$f（4）=0$
分析：根据$f(x+2)$为偶函数，可得$f(x+4)=f(-x)$，$f(2x+1)$为奇函数，可得$f(-2x+1)=-f(2x+1)$，即可判断选项．
解：由题意，$f(x+2)$为偶函数，可得$f(x+4)=f(-x)$，
$f(2x+1)$为奇函数，可得$f(-2x+1)=-f(2x+1)$，
令$F(x)=f(2x+1)$为奇函数，
可得$F(0)=f$（1）$=0$，
$\therefore f(-1)=-f$（3）$=-f$（1）$=0$，
即$f(-x)=-f(x+2)$，
$\therefore f(x+4)=-f(x+2)$，
易知$f(x)$的周期$T=4$，其他选项的值不一定等于0．
即$f(-1)=0$，
故选：$B$．
点评：本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．
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