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2021年高考数学新高考Ⅱ-14

14.(5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数$f(x):$ ______.
①$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$;②当$x\in (0,+\infty )$时,$f\prime (x)>0$;③$f\prime (x)$是奇函数.
分析:可看出$f(x)=x^{2}$满足这三个性质.
解:$f(x)=x^{2}$时,$f({x}_{1}{x}_{2})=({x}_{1}{x}_{2})^{2}={{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}=f({x}_{1})f({x}_{2})$;当$x\in (0,+\infty )$时,$f\prime (x)=2x>0$;$f\prime (x)=2x$是奇函数.
故答案为:$f(x)=x^{2}$.
点评:本题考查了幂函数的求导公式,奇函数的定义及判断,考查了计算能力,属于基础题.
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