2021年高考数学新高考Ⅱ-14

14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数

$f(x):$ 　______．
①

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ ；②当

$x\in (0,+\infty )$ 时，

$f\prime (x)>0$ ；③

$f\prime (x)$ 是奇函数．
分析：可看出

$f(x)=x^{2}$ 满足这三个性质．
解：

$f(x)=x^{2}$ 时，

$f({x}_{1}{x}_{2})=({x}_{1}{x}_{2})^{2}={{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}=f({x}_{1})f({x}_{2})$ ；当

$x\in (0,+\infty )$ 时，

$f\prime (x)=2x>0$ ；

$f\prime (x)=2x$ 是奇函数．
故答案为：

$f(x)=x^{2}$ ．
点评：本题考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．

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