2021年高考数学新高考Ⅱ-4

4．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为

$36000km$ （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为

$O$ ，半径

$r$ 为

$6400km$ 的球，其上点

$A$ 的纬度是指

$OA$ 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为

$\alpha$ ，该卫星信号覆盖地球表面的表面积

$S=2\pi r^{2}(1-\cos \alpha )$ （单位：

$km^{2})$ ，则

$S$ 占地球表面积的百分比约为(　　)
A．

$26%$ B．

$34%$ C．

$42%$ D．

$50%$
分析：由题意，地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，求解

$\cos \alpha$ ，根据卫星信号覆盖的地球表面面积可得

$S$ 占地球表面积的百分比．
解：由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，

则

$OB=36000+6400=424000$ ，那么

$\cos \alpha =\dfrac{6400}{42400}=\dfrac{8}{53}$ ；
卫星信号覆盖的地球表面面积

$S=2\pi r^{2}(1-\cos \alpha )$ ，
那么，

$S$ 占地球表面积的百分比为

$\dfrac{2\pi {r}^{2}(1-\cos \alpha )}{4\pi {r}^{2}}=\dfrac{45}{106}\approx 42%$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了对题目的阅读能力和理解能力，属于基础题．

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